task
stringlengths 42
679
| solution
stringlengths 72
2.19k
| short answer
stringlengths 1
7
| class
stringclasses 7
values | grade
int64 8
11
|
|---|---|---|---|---|
Девять действительных a1, a2, ..., a9 образуют арифметическую прогрессию. Известно, что a9 в 3 раза больше среднего арифметического этих девяти чисел. Найдите a1, если известно, что a4 = 6. | Пусть 𝑎 — первый член прогрессии, а 𝑑 — её разность, тогда девять членов прогрессии равны 𝑎, 𝑎 + 𝑑, 𝑎 + 2𝑑, …, 𝑎 + 8𝑑.
Среднее арифметическое чисел в арифметической прогрессии, состоящей из нечётного числа членов, равно среднему из этих чисел, т. е. в данном случае 𝑎 + 4𝑑.
Получаем уравнение 𝑎 + 8𝑑 = 3(𝑎 + 4𝑑), откуда следует 𝑎 + 8𝑑 = 3𝑎 + 12𝑑 и 𝑎 = −2𝑑. Тогда 6 = 𝑎4 = 𝑎 + 3𝑑 = 𝑑. Значит, 𝑎1 = −2𝑑 = −12. | -12 | school | 11 |
В понедельник у Семёна был день рождения, ему подарили некоторое количество рублей. Он решил не тратить все деньги сразу. Со вторника по субботу он тратил каждый день по 20 % от текущей суммы. Сколько рублей он потратил в четверг, если в пятницу его траты составили 384 рубля? | Обозначим через x количество рублей, которое потратил Семён в четверг. От имеющейся суммы он тратил 20% и оставлял на следующий день 80%, поэтому на пятницу у него осталось 4x рублей. В пятницу он рублей потратил 20% от 4x, то есть 4/5x , что составляет 384 рублей. Тем самым получаем, что в четверг Семён потратил x = 5/4 * 384 = 480 рублей. | 480 | school | 8 |
Учитель написал на доске четыре различных целых числа. Отличник Паша перемножил какие-то три из них и получил 37, а отличник Ваня перемножил какието три из них и получил 74. Какое наименьшее значение может принимать сумма четырёх чисел на доске? | Заметим, что число 37 является простым, и получить его произведением трёх целых чисел можно лишь, перемножая числа 1, −1 и −37. Чтобы получить произведение 74, надо выбрать два множителя из набора {1, −1, −37} и один новый множитель. Тогда получается, что есть 3 варианта для последнего множителя: 1) 1 * (−1) * (−74) = 74,
2) 1 * (−37) * (−2) = 74,
3) (−1) * (−37) * 2 = 74. Очевидно, что наименьшая сумма всех четырёх чисел будет в случае, когда четвёртое число на доске равно −74, и она равна 1 + (−1) + (−37) + (−74) = −111. | –111 | school | 8 |
За год каждый из восьмиклассников гимназии № 1 получил по алгебре либо 8, либо 10 оценок (все оценки — от 2 до 5). Известно, что у любых двух восьмиклассников средние баллы по алгебре за год различны. Какое наибольшее количество восьмиклассников может быть в этой гимназии? Средний балл — это сумма всех оценок ученика, делённая на их количество | Для начала поймём, какие числа могут быть средним арифметическим как 8, так и 10 натуральных чисел. Обозначив соответственно сумму 8 чисел за 𝑛, а сумму 10 чисел за 𝑚, получаем равенство 𝑛/8 = 𝑚/10 . Домножив на 40, получаем 5𝑛 = 4𝑚. В частности, 𝑛 должно делиться на 4, а значит, величина 𝑛/8 — целая или полуцелая. Сумма 8 оценок может равняться любому натуральному числу от 16 до 40, т. е. при 8 оценках возможен максимум 25 различных средних баллов. Также сумма 10 оценок может равняться любому натуральному числу от 20 до 50, т. е. при 10 оценках возможен максимум 31 различный средний балл. Всего получаем 25 + 31 = 56 значений, но из этого количества нужно вычесть количество средних баллов,
посчитанные дважды. Как говорилось ранее, это целые или полуцелые числа: 2; 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5; 5 (ясно, что каждое из этих чисел может быть средним баллом и при 8 оценках, и при 10; также средний балл всегда не меньше 2 и не больше 5). Получаем, что наибольшее количество различных средних баллов (оно же наибольшее количество восьмиклассников в этой гимназии) равно 56 − 7 = 49. | 49 | school | 8 |
По кругу стоят 36 детей, каждый из них одет в красную или синюю кофту. Известно, что рядом с каждым мальчиком стоит девочка, а рядом с каждой девочкой стоит человек в синей кофте. Найдите наибольшее возможное количество девочек в красных кофтах. | Заметим. что не найдётся 3 стоящих подряд девочек в красных кофтах (иначе для средней из них не выполняется условие). Разбив 36 детей на 12 троек, получаем, что в каждой из них не более 2 девочек в красных кофтах, а всего девочек в красных кофтах не больше 2 * 12 = 24. Пример построить легко: в каждой из 12 троек по часовой стрелке располагаются две девочки в красных кофтах, а следом за ними мальчик в синей кофте. Ясно, что все условия задачи выполняются.
| 24 | school | 8 |
Из города в деревню выехал автомобиль, одновременно с ним из деревни в город выехал велосипедист. Когда автомобиль и велосипедист встретились, автомобиль сразу же развернулся и поехал обратно в город. В итоге велосипедист приехал в город на 35 минут позже автомобиля. Сколько минут затратил велосипедист на весь путь, если известно, что его скорость в 4,5 раза меньше скорости автомобиля? | Отметим деревню 𝐴, город 𝐵, точку 𝑃 встречи автомобиля и велосипедиста, а также точку 𝑄, где оказался велосипедист в момент возвращения автомобиля в город. Поскольку скорости автомобиля и велосипедиста различаются в 4,5 раза, то 𝐴𝑃 / 𝑃𝐵 = 1 / 4,5 = 2 / 9. Поскольку автомобиль потратил на перемещения 𝐵 в 𝑃 и 𝑃 в 𝐵 одинаковое время, то и велосипедист потратил на соответствующие перемещения 𝐴 в 𝑃 и 𝑃 в 𝑄 одинаковое время. Следовательно, 𝐴𝑃 / 𝑃𝑄 / 𝑄𝐵 = 2 / 2 / 7. Поскольку велосипедист потратил на перемещение 𝑄 в 𝐵 ровно 35 минут, то на всё перемещение 𝐴 в 𝐵 он потратил пропорциональное время: 35 * 11 / 7 = 55 минут. | 55 | school | 8 |
Паша выписал в порядке возрастания все натуральные делители натурального числа 𝑘 и их пронумеровал: первый, второй, …. Паша заметил, что если шестой делитель умножить на тринадцатый делитель, то получится исходное число 𝑘. Сколько натуральных делителей имеет число 𝑘? | Пусть натуральные делители числа 𝑘 упорядочены так: 1 = 𝑑1 < 𝑑2 < … < 𝑑6 < … < 𝑑13 < … < 𝑑𝑚−1 < 𝑑𝑚 = 𝑘. Заметим, что числа 𝑘 = 𝑘 𝑑1 > 𝑘 𝑑2 > … > 𝑘 𝑑6 > … > 𝑘 𝑑13 > … > 𝑘 𝑑𝑚−1 > 𝑘 𝑑𝑚 = 1 также являются делителями числа 𝑘, они различны, и их столько же. Значит, это те же самые числа, только в обратном порядке. Получаем, что 𝑑1 = 𝑘 𝑑𝑚 , 𝑑2 = 𝑘 𝑑𝑚−1 , … , 𝑑𝑚 = 𝑘 𝑑1 . Таким образом, делители разбиваются на пары «противоположных», дающих в произведении исходное число 𝑘: 𝑘 = 𝑑1 * 𝑑𝑚 = 𝑑2 * 𝑑𝑚−1 = … В каждой такой паре сумма индексов делителей равна 𝑚 + 1. Поскольку по условию 𝑑6 * 𝑑13 = 𝑘, получаем, что 𝑚 = 6 + 13 − 1 = 18. | 18 | school | 8 |
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды собрались 10 жителей острова, все они надели на себя футболки с номерами от 1 до 10 (у разных жителей разные номера). Каждый из них сказал одну из фраз: «Среди собравшихся нет рыцаря, номер футболки которого больше моего», «Среди собравшихся нет лжеца, номер футболки которого меньше моего». Известно, что каждая из этих фраз прозвучала ровно 5 раз. Сколько рыцарей могло быть среди этих 10 жителей? Укажите все возможные варианты. | Рассмотрим людей, сказавших первую фразу. Среди них не более одного рыцаря (в ином случае рыцарь с наименьшим номером среди них соврал бы). Таким образом, всего рыцарей не больше 6. Также среди всех присутствующих есть хотя бы 1 рыцарь (в ином случая все лжецы, говорившие первую фразу, говорили бы правду). Для каждого количества рыцарей от 1 до 6 существует пример. Пусть люди говорят фразы в порядке их номеров футболок. Запишем в ряд номера произнесенных ими фраз:
• 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1: всего 6 рыцарей с номерами 1—5 и 10.
• 2, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1: всего 5 рыцарей с номерами 1—4 и 10.
• 2, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1: всего 4 рыцаря с номерами 1—3 и 10.
• 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1: всего 3 рыцаря с номерами 1—2 и 10.
• 2, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1: всего 2 рыцаря с номерами 1 и 10.
• 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1: всего 1 рыцарь с номером 10.
| 123456 | school | 8 |
На клавиатуре компьютера Пети неисправна одна клавиша с некоторой цифрой (все остальные клавиши работают хорошо). Неисправная клавиша срабатывает только на каждое второе нажатие. Например, в случае неисправной клавиши «2» при вводе числа 12125252 получится число 112552. Петя попробовал ввести 10-значное число, но на экране появилось 7-значное число 7479189. Клавиша с какой цифрой могла быть неисправна? Укажите все возможные варианты. | Не напечатались 10 − 7 = 3 цифры. Это означает, что на неисправную клавишу нажимали хотя бы 5 раз, при этом не сработали первое, третье и пятое нажатие, но точно сработали второе и четвёртое. Цифр, встречающихся хотя бы дважды, на экране ровно две: 7 и 9. Ясно, что клавиша с 7 могла быть неисправной, например, в случае ввода числа 7774779189, а клавиша с 9 могла быть неисправной, например, в случае ввода числа 7479991899 | 79 | school | 8 |
В классе учатся 29 школьников: несколько отличников и несколько хулиганов. Отличники всегда говорят правду, а хулиганы всегда врут. Все ученики этого класса сели за круглый стол. Несколько учеников сказали: «Рядом со мной ровно один хулиган». Все остальные ученики сказали: «Рядом со мной ровно два хулигана». Какое наименьшее количество хулиганов может быть в классе? | Если бы по кругу нашлись три отличника подряд, средний из них точно сказал бы неправду. Следовательно, среди любых трёх подряд идущих человек должен быть хотя бы один хулиган. Выберем произвольного хулигана. Дадим ему номер 29, а всех следующих за ним по часовой стрелке людей пронумеруем числами от 1 до 28. Поскольку в каждой из непересекающихся групп (1, 2, 3), (4, 5, 6), …, (25, 26, 27), (29) есть хотя бы один хулиган, то всего хулиганов хотя бы 27/3 + 1 = 10. Заметим также, что хулиганов могло быть ровно 10. Опять же, пронумеровав людей по часовой стрелке числами от 1 до 29, пусть ученики с номерами 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 29 — это хулиганы, а ученики со всеми остальными номерами — отличники. При этом все отличники, кроме отличника с номером 28, сказали первую фразу, а отличник с номером 28 и все хулиганы сказали вторую фразу. Несложно видеть, что все условия задачи выполняются. | 10 | school | 8 |
Точки 𝐷 и 𝐸 отмечены соответственно на сторонах 𝐴𝐶 и 𝐵𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 так, что 𝐴𝐷 = 𝐸𝐶. Оказалось, что 𝐵𝐷 = 𝐸𝐷, ∠𝐵𝐷𝐶 = ∠𝐷𝐸𝐵. Найдите длину отрезка 𝐴𝐶, если известно, что 𝐴𝐵 = 7 и 𝐵𝐸 = 2. | Заметим, что треугольники 𝐷𝐸𝐶 и 𝐵𝐷𝐴 равны. Действительно, 𝐷𝐸 = 𝐵𝐷, 𝐸𝐶 = 𝐷𝐴 и ∠𝐷𝐸𝐶 = 180∘ − ∠𝐵𝐸𝐷 = 180∘ − ∠𝐵𝐷𝐶 = ∠𝐵𝐷𝐴. Отсюда следует, что 𝐷𝐶 = 𝐴𝐵 = 7 и ∠𝐷𝐶𝐸 = ∠𝐵𝐴𝐷 (рис. 3). Из последнего равенства углов следует, что треугольник 𝐴𝐵𝐶 является равнобедренным, 7 = 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 2 + 𝐸𝐶, откуда получаем 5 = 𝐸𝐶 = 𝐴𝐷 и 𝐴𝐶 = 𝐴𝐷 + 𝐷𝐶 = 5 + 7 = 12. | 12 | school | 8 |
На доске были написаны числа 1, 2, 3, … , 235. Петя стёр несколько из них. Оказалось, что среди оставшихся чисел никакое не делится на разность никаких двух других. Какое наибольшее количество чисел могло остаться на доске? | На доске могло остаться 118 нечётных чисел: любое из них не делится на разность никаких двух других, потому что эта разность чётна. Предположим, могло остаться хотя бы 119 чисел. Рассмотрим 118 множеств: 117 пар (1, 2), (3, 4), (5, 6), …, (233, 234) и одно число 235. По принципу Дирихле в одном из множеств осталось хотя бы два числа. Это означает, что среди оставшихся чисел найдутся два последовательных, но тогда их разность, равная 1, является делителем любого другого оставшегося числа. Противоречие. | 118 | school | 8 |
В таблице 3 * 3 расставлены действительные числа. Оказалось, что произведение чисел в любой строке и любом столбце равно 10, а произведение чисел в любом квадрате 2 * 2 равно 3. Найдите число, стоящее в центральной клетке. | Обозначим числа в квадрате слева направо: пусть 𝑎, 𝑏, 𝑐 — числа в первой строчке, 𝑑, 𝑒, 𝑓 — во второй строчке, 𝑔, ℎ, 𝑖 — в третьей строчке. Заметим, что 𝑒 = (𝑎𝑏𝑑𝑒 * 𝑏𝑐𝑒𝑓 * 𝑑𝑒𝑔ℎ * 𝑒𝑓ℎ𝑖) / (𝑎𝑏𝑐 * 𝑑𝑒𝑓 * 𝑔ℎ𝑖 * 𝑏𝑒ℎ * 𝑑𝑒𝑓) = 3**4 / 10**5 = 0,00081. | 0.00081 | school | 8 |
Вася загадал двузначное число, а затем приписал к нему слева цифру 1, а справа — цифру 8, отчего число увеличилось в 28 раз. Какое число мог загадать Вася? (Найдите все варианты и докажите, что других нет.) | Пусть Вася загадал число n. При приписывании справа цифры 8 оно превращается в число 10n+ 8, а при приписывании слева цифры 1 оно увеличивается ещё на 1000, поэтому 10n + 1008 = 28n; 18n = 1008; n = 56. | 56 | school | 8 |
В классе за каждой партой сидят двое учеников. Парт, за которыми сидят двое мальчиков, вдвое больше, чем парт, за которыми сидят две девочки. А парт, за которыми сидят две девочки, вдвое больше, чем парт, за которыми сидят мальчик с девочкой. Сколько в классе мальчиков, если известно, что там 10 девочек? | Пусть парт, за которыми сидят мальчик с девочкой, x. Тогда парт с двумя девочками 2x. Тогда всего девочек 2 * 2x + x = 5x = 10, откуда x = 2. Тогда парт с двумя мальчиками 4x = 8. Значит, всего мальчиков 2 * 8 + 2 = 18. | 18 | school | 8 |
На доске записано натуральное число. Николай заметил, что может двумя способами приписать к нему цифру справа так, чтобы полученное число делилось на 9. Сколькими способами он может приписать к данному числу цифру справа так, чтобы полученное число делилось на 3? | Заметим, что разность между двумя числами, «замеченными» Николаем, меньше 10, но при этом делится на 9. Значит, эта разность равна 9. Это возможно только если приписанные цифры есть 0 и 9. Тогда легко видеть, что для делимости на 3 помимо этих двух цифр можно приписать также цифры 3 и 6. Итого 4 способа | 4 | school | 8 |
Архипелаг состоит из нескольких малых островов и одного большого. Было решено построить мосты между островами так, чтобы большой остров соединялся с каждым малым островом двумя мостами, а любые два малых острова были соединены одним мостом. К 1 ноября были построены все мосты между малыми островами и несколько (не менее одного) мостов, ведущих на большой остров, — всего 28 мостов. Сколько всего островов в архипелаге? | Занумеруем малые острова архипелага. Если мост соединяет острова с номерами a и b, запишем на этом мосту меньшее из этих двух чисел. Предположим, что число малых островов в архипелаге не более шести. Тогда мостов с номером 1 не более 5, мостов с номером 2 не более 4 и т. д. На большой остров ведет не более 12 мостов. Тогда всего решено построить не больше, чем 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 12 = 27 < 28 мостов, что противоречит условию. Предположим, что число малых островов в архипелаге не меньше 8. Тогда мостов с номером 1 не менее 7, мостов с номером 2 не менее 6 и т. д. К большому острову построено не менее двух мостов, поэтому общее число построенных мостов не менее 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 2 = 30 > 28, что также противоречит условию. Значит, малых островов в архипелаге 7, а всего островов — 8 | 8 | school | 8 |
В мешке у Деда Мороза находятся меньше ста подарков для Пети, Вася, Бори и Лёши. Дед Мороз отдал половину подарков Пете, пятую часть — Васе, седьмую часть — Боре. Сколько подарков досталось Лёше? | Чтобы Дед Мороз мог отдать половину подарков Пете, общее количество подарков в его мешке должно делиться на 2. Также, поскольку он отдал пятую часть Васе, а седьмую часть Боре, общее количество подарков должно делиться на 5 и на 7. Таким образом, количество подарков должно делиться на НОК(2, 5, 7) = 2 * 5 * 7 = 70. По условию задачи количество подарков меньше ста, поэтому их может быть только 70. Тогда Пете он отдал 70 / 2 = 35 подарков, Васе — 70 / 5 = 14 подарков, а Боре — 70 / 7 = 10 подарков. Таким образом, Лёше он отдал 70 − 35 − 14 − 10 = 11 подарков. | 11 | school | 8 |
Рыцарский турнир длится ровно 7 дней. К концу четвертого дня сэр Ланселот не успел сразиться лишь с одной четвертью от общего числа участников турнира. А сэр Тристан к этому времени сразился ровно с одной седьмой из тех рыцарей, с кем успел сразиться сэр Ланселот. Какое минимальное количество рыцарей могло участвовать в турнире? | Пусть Ланселот не сразился с x рыцарями. Тогда общее число рыцарей равно 4x, а сразился Ланселот с 3x − 1 рыцарем (общее количество за вычетом x и самого Ланселота). Тогда Тристан сразился с 3x−1 7 рыцарей. Чтобы найти наименьшее возможное количество рыцарей, необходимо подобрать минимальное x такое, что 3x−1 делится на 7. Значения x = 1, 2, 3, 4 не подходят, а x = 5 подходит. Таким образом, наименьшее возможное число рыцарей равно 20 | 20 | school | 8 |
Володя расставил несколько (возможно 0) шахматных фигур на доску 8 × 8. Лёня заметил, что в каждом квадрате 2 × 2 стоит одинаковое количество фигур. А Влад заметил, что в каждом прямоугольнике 3 × 1 (или 1×3) стоит одинаковое количество фигур. Сколько фигур было выставлено на доску? (Укажите все варианты и докажите, что других нет) | Предположим, что в каждом квадрате 2*2 стоит m фигур, а в каждом прямоугольнике 1*3 — n фигур. Выделим из доски какой-нибудь прямоугольник 2*6. С одной стороны, этот прямоугольник можно разбить на три квадрата 2*2, и значит в нём 3m фигур. С другой стороны, его можно разрезать на четыре прямоугольника 1*3, и тогда в нём 4n фигур. Получаем соотношение 3m = 4n, откуда n делится на 3. Но n может принимать значения 0, 1, 2, 3. Таким образом, n = 0 или n = 3. Иными словами, либо все прямоугольники 1*3 пустые, и тогда на доске стоит 0 фигур, либо все прямоугольники 1*3 полностью заняты фигурами, и в этом случае на доске стоят 64 фигуры. | 0.64 | school | 8 |
Мотоциклист Вася запланировал поездку из пункта А в пункт Б с постоянной скоростью. Первую половину пути он проехал со скоростью 𝑣1 — на 15 % меньшей, чем хотел. Затем он увеличил скорость до 𝑣2 и приехал в пункт Б точно в тот момент, в какой и планировал. Найдите 𝑣2/𝑣1 | Пусть Вася изначально планировал ехать со скоростью 𝑣 в течение времени 𝑡. Тогда в текущей поездке первая половина пути составляет 0,5𝑡𝑣, и Вася проехал её со скоростью 0,85𝑣. Значит, времени он затратил на неё 0,5𝑣 / 0,85𝑣 = (1 / 1,7) * 𝑡 Тогда времени у него осталось 𝑡 - (1 / 1,7) * 𝑡 = (0,7 / 1,7) * 𝑡 Ему нужно проехать расстояние 0,5𝑡𝑣 с постоянной скоростью, поэтому ему нужно ехать со скоростью 0,5𝑡𝑣 / ((0,7 / 1,7) * 𝑡 ) = (0,5 * 1,7𝑣) / 0,7 = 0,85𝑣 / 0,7 . Осталось лишь найти ответ: 𝑣2 / 𝑣1 = (0,85𝑣 / 0,7) / 0,85𝑣 = 1 / 0,7=10 / 7 | 10/7 | school | 9 |
В пиццерии в каждую пиццу обязательно кладут помидоры и моцареллу. При заказе пиццы надо выбрать одну или несколько начинок: ветчину, грибы, салями или курицу. Также надо выбрать размер пиццы — 25, 30, 35 или 40 сантиметров. Сколько вариантов пиццы можно заказать в пиццерии? Пиццы считаются разными, если они имеют разные размеры или различаются хотя бы одним видом начинки | Сначала поймём, сколько существует вариантов положить начинку в пиццу. Каждый из 4 ингредиентов можно либо брать, либо не брать, итого получаем 2 * 2 * 2 * 2 = 16 вариантов. Но среди них есть один, когда мы ничего не кладём. По условию задачи такой вариант нам не подходит, а все остальные подходят, а значит, всего подходящих вариантов начинки 15. Для каждого размера пиццы возможен каждый из вариантов начинки, поэтому всего вариантов пиццы 15 * 4 = 60.
| 60 | school | 9 |
Петя задумал составное натуральное число N, меньшее 1000.Он выписал на доску все натуральные делители N, не равные 1. Оказалось, что два наименьших числа на доске различаются на 39. Чему может быть равно N? Укажите все возможные варианты. | Предположим, что 𝑁 нечётно. Тогда все делители 𝑁 тоже нечётны, а значит, разность между любыми двумя чётная, и поэтому не может равняться 39. Таким образом, 𝑁 точно чётно. Отсюда следует, что наименьшим числом на доске будет 2, тогда следующим по величине числом будет 2 + 39 = 41. Поскольку 𝑁 делится на два взаимно простых числа 2 и 41, то оно делится и на их произведение 82. Легко убедиться, что число 𝑁 = 82 подходит под условие задачи. Предположим, что существует ещё какое-то подходящее 𝑁 != 82. Поскольку двумя его наименьшими делителями, отличными от 1, являются 2 и 41, то у 𝑁 нет других делителей в интервале (2; 41). Тогда 𝑁 должно делиться либо на какое-то простое число, большее 41, либо на степени чисел 2 или 41. При этом делиться на какую-то ещё степень 2 число 𝑁 не может, т.к. среди делителей 𝑁 не должно быть числа 4. Если же 𝑁 делится на простое число, большее 41, или на 412 , то 𝑁 не меньше 2 * 41 * 41 = 3362 > 1000. Таким образом, единственный возможный вариант для 𝑁 — это 82. | 82 | school | 9 |
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды собралось несколько жителей острова, и каждый из них произнёс по одной фразе: Один сказал: «Среди нас не более 9 рыцарей». Двое сказали: «Среди нас не более 8 рыцарей». Трое сказали: «Среди нас не более 7 рыцарей». ... Девять человек сказали: «Среди нас не более 1 рыцаря». А все остальные сказали: «Среди нас не более 10 рыцарей». Сколько человек могло сказать последнюю фразу? Укажите все возможные варианты. | Рассмотрим случаи того, сколько всего рыцарей среди собравшихся. Случай 1. Рыцарей хотя бы 11. В этом случае все фразы оказываются ложью. А поскольку каждый человек что-то сказал, то такой случай невозможен. Случай 2. Рыцарей ровно 10. Тогда правду говорят только говорящие последнюю фразу (и они рыцари), а все остальные говорят неправду (и они лжецы). Значит, последнюю фразу говорят все рыцари, т. е. 10 человек. Случай 3. Рыцарей ровно 9. Тогда правду говорит человек, сказавший первую фразу, и люди, говорящие последнюю фразу (а все остальные говорят неправду, и поэтому являются лжецами). Значит, последнюю фразу говорит 9 − 1 = 8 человек. Случай 4. Рыцарей ровно 8. Тогда правду говорят только люди, сказавшие первую, вторую и последнюю фразы. Значит, последнюю фразу говорит 8 − 1 − 2 = 5 человек. Случай 5. Рыцарей ровно 7. Тогда правду говорят только люди, сказавшие первую, вторую, третью и последнюю фразы. Значит, последнюю фразу говорит 7 − 1 − 2 − 3 = 1 человек. Случай 6. Рыцарей не более 6. Тогда правду говорят как минимум люди, сказавшие первую, вторую, третью и четвёртую фразы, т. е. рыцарей не менее
1 + 2 + 3 + 4 = 10 человек. Противоречие. Значит, этот случай невозможен. Таким образом, количество людей, сказавших последнюю фразу, равно 10, 8, 5 или 1. Ясно, что все эти варианты возможны. | 15810 | school | 9 |
В магазине продаётся 20 товаров, стоимости которых — различные натуральные числа от 1 до 20 рублей. Магазин решил устроить акцию: при покупке любых 5 товаров один из них выдаётся в подарок, причём покупатель сам выбирает, какой товар получит бесплатно. Влад хочет купить все 20 товаров в этом магазине, заплатив как можно меньше. Сколько рублей ему понадобится? (Каждый из 20 товаров продаётся в 1 экземпляре.) | Влад может воспользоваться акцией не более 4 раз, поэтому он бесплатно приобретёт не более 4 товаров. Суммарная стоимость этих 4 товаров не превосходит 17 + 18 + 19 + 20 рублей. Значит, рублей Владу надо не менее (1 + 2 + 3 + … + 20) − (17 + 18 + 19 + 20) = 1 + 2 + 3 + … + 16 = 16 * 17 / 2 = 136. Покажем, что 136 рублей ему точно хватит. Он может совершать покупки товаров со следующими стоимостями: (1, 2, 3, 4, 17), (5, 6, 7, 8, 18), (9, 10, 11, 12, 19), (13, 14, 15, 16, 20). Если Влад в каждой покупке будет брать последний товар бесплатно, то потратит в точности 136 рублей. | 136 | school | 9 |
Ваня загадал два натуральных числа, произведение которых равняется 7200. Какое наибольшее значение может принимать НОД этих чисел? | Поскольку каждое из этих чисел делится на их НОД, то их произведение делится на квадрат этого НОД. Наибольший точный квадрат, на который делится число 7200 = (2**5) * (3**2) * (5**2) — это 3600 = (2**2 * 3 * 5)**2 , поэтому НОД двух искомых чисел не превосходит 60. При этом НОД может равняться 60, если искомые два числа — это 60 и 120 | 60 | school | 9 |
Простое число 𝑝 таково, что число 𝑝 + 25 является седьмой степенью простого числа. Чему может быть равно 𝑝? Укажите все возможные варианты. | Воспользуемся тем, что единственное простое чётное число — это 2. Пусть 𝑝 = 2, тогда 𝑝 + 25 = 27, что не является седьмой степенью. Противоречие. Пусть 𝑝 > 2, тогда 𝑝 нечётно, а 𝑝 + 25 чётно. Поскольку 𝑝 + 25 чётно и является седьмой степенью простого числа, то это простое число равно 2. Следовательно, 𝑝 + 25 = 27 = 128, откуда получаем 𝑝 = 103. | 103 | school | 9 |
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды собрались 80 жителей острова, все они надели на себя футболки с номерами от 1 до 80 (у разных жителей разные номера). Каждый из них сказал одну из двух фраз: «Среди собравшихся хотя бы у 5 лжецов номер футболки больше моего». «Среди собравшихся хотя бы у 5 лжецов номер футболки меньше моего». Какое наименьшее количество рыцарей могло быть среди этих 80 жителей? | Предположим, что лжецов хотя бы 11. Упорядочим по возрастанию номера на их футболках и выберем лжеца с 6-м по счёту номером. Тогда он обязан сказать правду, ведь есть хотя бы 5 лжецов как с меньшим номером, так и с бо́льшим. Таким образом, лжецов не более 10, т. е. рыцарей не менее 70. Покажем, что рыцарей могло быть ровно 70. Пусть, например, рыцари были в футболках с номерами 1—70, а лжецы — в футболках с номерами 71—80. Все рыцари и лжецы с номерами 76—80 сказали первую фразу, а лжецы с номерами 71—75 сказали вторую фразу. Ясно, что все условия задачи выполняются | 70 | school | 9 |
Дан квадратный трёхчлен 𝑃(𝑥), старший коэффициент которого равен 1. На графике 𝑦 = 𝑃(𝑥) отметили две точки с абсциссами 10 и 30. Оказалось, что биссектриса первой четверти координатной плоскости пересекает отрезок между ними в его середине. Найдите 𝑃(20). | Середина этого отрезка имеет координаты ((10 + 30)/2, (𝑃(10) + 𝑃(30))/2 ). Поскольку она лежит на биссектрисе первой четверти, т.е. на прямой 𝑦 = 𝑥, эти координаты равны. Отсюда получаем 𝑃(10) + 𝑃(30) = 40. Так как 𝑃(𝑥) приведённый, его можно записать в виде 𝑃(𝑥) = 𝑥**2 + 𝑎𝑥 + 𝑏. Тогда условие 𝑃(10) + 𝑃(30) = 40 переписывается в виде 100 +10𝑎 + 𝑏 +900 +30𝑎 + 𝑏 = 40, откуда следует, что 40𝑎 + 2𝑏 = −960 и 20𝑎 + 𝑏 = −480. Следовательно, 𝑃(20) = 400 + 20𝑎 + 𝑏 = 400 - 480 = -80. | -80 | school | 9 |
На острове живут красные, жёлтые, зелёные и синие хамелеоны. В пасмурный день либо один красный хамелеон меняет окрас на жёлтый цвет, либо один зелёный хамелеон — на синий цвет. В солнечный день либо один красный хамелеон меняет окрас на зелёный цвет, либо один жёлтый хамелеон — на синий цвет. В сентябре было 18 солнечных и 12 пасмурных дней. При этом количество жёлтых хамелеонов увеличилось на 5. На сколько увеличилось количество зелёных хамелеонов? | Пусть 𝐴 — количество зелёных хамелеонов на острове, а 𝐵 — жёлтых. Рассмотрим величину 𝐴 − 𝐵. Заметим, что каждый пасмурный день она уменьшается на 1, а каждый солнечный день она увеличивается на 1. Поскольку солнечных дней в сентябре было на 18 − 12 = 6 больше, чем пасмурных, то и величина 𝐴−𝐵 увеличилась на 6 за это время. Поскольку 𝐵 увеличилось на 5, то 𝐴 должно было увеличиться на 5 + 6 = 11 | 11 | school | 9 |
У Дениса есть карточки с числами от 1 до 50. Сколько существует способов выбрать две карточки так, чтобы разность чисел на карточках равнялась 11, а произведение делилось на 5? Порядок выбранных карточек не важен: например, способ выбора карточек с числами 5
и 16, а также способ выбора карточек с числами 16 и 5 — это один и тот же способ.
| Чтобы произведение делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы какой-то множитель делился на 5. Пусть 𝑛 — делящееся на 5 выбранное число, тогда в пару ему надо выбрать 𝑛 − 11 или 𝑛 + 11, притом оба выбранных числа должны быть натуральными. Ясно, что при 𝑛 = 5, 10, 40, 45, 50 есть только один способ выбрать пару, а при 𝑛 = 15, 20, 25, 30, 35 есть ровно два способа выбрать пару. Итого 5 * 1 + 5 * 2 = 15 способов. | 15 | school | 9 |
Торговцы Андрей и Борис купили по 60 мешков картошки у одного и того же фермера. Все мешки стоили одинаково. Андрей продал все свои мешки, увеличив их цену на 100%. Борис же сначала увеличил цену на 60%, а когда продал 15 мешков, увеличил цену ещё на 40% и продал остальные 45 мешков. Оказалось, что Борис заработал на 1200 рублей больше Андрея. Сколько рублей стоил один мешок картошки у фермера? | Пусть мешок у фермера стоил 𝑥 рублей. На покупку 60 мешков Андрей и Борис потратили поровну. Из условия следует, что Андрей продал 60 мешков по 2𝑥 рублей, т. е. получил 60 * 2𝑥 рублей. Борис же продал 15 мешков по цене 1,6𝑥 рублей, а затем продал 45 мешков по цене 1,6𝑥 * 1,4 рублей. Получаем уравнение 2𝑥 * 60 + 1200 = 15 * 1,6𝑥 + 45 * 1,6𝑥 * 1,4. Решая его, находим 𝑥 = 250. | 250 | school | 9 |
Антон, Вася, Саша и Дима ехали на машине из города А в город Б, каждый из них по очереди был за рулём. Весь путь машина ехала с постоянной скоростью. Антон вёл машину в два раза меньше, чем Вася, а Саша вёл машину столько же, сколько Антон и Дима вместе взятые. Дима был за рулём лишь десятую часть пути. Какую часть пути за рулём был Вася? Ответ запишите в виде десятичной дроби. | Пусть доля пути, в течение которой Антон был за рулём, равна 𝑥. Тогда доля Васи равна 2𝑥, Димы — 0,1, а Саши — 0,1 + 𝑥. Суммируя все доли, получаем 4𝑥 + 0,2, что должно составить 1. Отсюда 𝑥 = 0,2; а ответом будет 2𝑥 = 0,4. | 0.4 | school | 9 |
У Буратино есть много монет по 5 и по 6 сольдо, каждого вида более 10 монет. Придя в магазин и купив книгу за 𝑁 сольдо, он понял, что не сможет за неё рассчитаться без сдачи. Какое наибольшее значение может принимать натуральное 𝑁, если оно не больше 50? | Легко проверить, что при 𝑁 = 19 сдача необходима. Заметим, что числа от 20 до 24 не подходят под условие, ведь за них можно было бы рассчитаться без сдачи: 𝑁 = 20 = 4 * 5, 21 = 3 * 5 + 6, 22 = 2 * 5 + 2 * 6, 23 = 5 + 3 * 6, 24 = 4 * 6. Ясно, что тогда и числа от 25 до 50 не подходят под условие, ведь каждое из них является суммой одного или нескольких слагаемых, равных 5, а также числа от 20 до 24, являющегося суммой слагаемых, каждое из которых равно 5 и 6. | 19 | school | 9 |
У уравнений x**2 + 2019ax + b = 0 и x**2 + 2019bx + a = 0 есть один общий корень. Чему может быть равен этот корень, если известно, что a != b? | Пусть общий корень данных уравнений равен r. Тогда r**2 + 2019ar + b = 0 = r**2 + 2019br + a. Отсюда получаем, что 2019r(a − b) = (a − b). Поскольку a != b, из этого следует, что r = 1/2019 . | 1/2019 | school | 9 |
Есть три брата-акробата. Их средний рост — 1 метр 74 сантиметра. А средний рост двух из этих братьев: самого высокого и самого низкого — 1 метр 75 сантиметров. Какого роста средний брат? Ответ обоснуйте. | Поскольку средний рост всех трёх — 1 метр 74 сантиметра, суммарный рост всех составляет 5 метров 22 сантиметра. Средний рост двух братьев равен 1 метр 75 сантиметров, поэтому их суммарный рост составляет 3 метра 50 сантиметров. А значит, рост среднего брата составляет 1 метр 72 сантиметра. | 1.72 | school | 9 |
Назовём трёхзначное число интересным, если хотя бы одна его цифра делится на 3. Какое наибольшее количество подряд идущих интересных чисел может быть? (Приведите пример и докажите, что больше чисел получить нельзя.) | Числа 289, 290, . . . , 299, 300, . . . , 399, 400, . . . , 409, 410 являются интересными (напомним, что 0 делится на 3), и их всего 122. Докажем, что большего количества быть не может. Предположим, что нам удалось найти большее количество подряд идущих интересных чисел; выберем из них 123 подряд идущих. Назовём сотню подряд идущих чисел, у которых разряд сотен одинаков и делится на 3, интересной сотней. Заметим, что до любой интересной сотни идут только 11 интересных чисел, оканчивающихся на 89, 90, . . . , 99, а 12-е число оканчивается на 88 и интересным не будет. Аналогично после интересной сотни идут тоже только 11 интересных чисел, оканчивающихся на 00, . . . , 09, 10, а 12-е число оканчивается на 11 и также не интересное. Если наша последовательность из 123 чисел пересекается с некоторой интересной сотней, то она содержит хотя бы 12 чисел либо до, либо после этой сотни. Следовательно, хотя бы одно число в ней не интересное. Если же наша последовательность из 123 чисел не пересекается с интересной сотней, то она содержит хотя бы одно число, оканчивающееся на 55 (как и на любую другую комбинацию цифр). Но это число не интересное, так как ни один разряд в нём на 3 не делится | 122 | school | 9 |
45 конфет стоят столько же рублей, сколько их можно купить на 20 рублей. Сколько конфет можно купить на 50 рублей? | Пусть x — стоимость одной конфеты в рублях. Тогда 45x = 20 / x , откуда x = 2 / 3 . Тогда на 50 рублей можно купить 50 / x = 75 конфет. | 75 | school | 9 |
Чебурашка и Гена съели торт. Чебурашка ел вдвое медленнее Гены, но начал есть на минуту раньше. В итоге им досталось торта поровну. За какое время Чебурашка съел бы торт в одиночку? | Первый способ. Если Чебурашка ест вдвое медленнее Гены, то, чтобы съесть столько же торта, сколько съел Гена, ему нужно в два раза больше времени. Значит, то время, которое Чебурашка ел в одиночку (1 минута), составляет половину всего времени, за которое Чебурашка съел половину торта. Таким образом половину торта он съел за 2 минуты, а весь торт съел бы за 4 минуты. Второй способ. Пусть Гена съедает весь торт за x минут, тогда Чебурашке на весь торт нужно 2x минут. Каждому из них досталась половина торта, то есть Гена ел 0,5x минут, а Чебурашка x минут. Из условия следует, что 0,5x + 1 = x, откуда x = 2. Значит, Чебурашка съест торт за 2 * 2 = 4 минуты. | 4 | school | 9 |
На доске была написана несократимая дробь. Петя уменьшил её числитель на 1, а знаменатель на 2. А Вася прибавил к числителю 1, а знаменатель оставил без изменений. Оказалось, что в результате мальчики получили одинаковые значения. Какой именно результат у них мог получиться? | Пусть была написана дробь a / b . Тогда Петя получил (a - 1) / (b - 2), а Вася (a + 1) / b. Так как они получили одинаковый результат (a - 1) / (b - 2) = (a + 1) / b, откуда b - a = 1. Значит, исходная дробь имела вид a / (a + 1). И Петя получил из неё дробь (a - 1) / (a - 1), а Вася (a + 1) / (a + 1), т. е. результат и Пети, и Васи равен 1. | 1 | school | 9 |
Дима должен был попасть на станцию в 18:00. К этому времени за ним должен был приехать отец на автомобиле. Однако Дима успел на более раннюю электричку и оказался на станции в 17:05. Он не стал дожидаться отца и пошёл ему навстречу. По дороге они встретились, Дима сел в автомобиль, и они приехали домой на 10 минут раньше рассчитанного времени. С какой скоростью шёл Дима до встречи с отцом, если скорость автомобиля была 60 км/ч? | Дима приехал домой на 10 минут раньше, за это время автомобиль дважды проехал бы путь, который Дима прошёл. Следовательно, на пути к вокзалу отец на автомобиле сэкономил 5 минут и встретил Диму в 17:55. Значит, Дима прошёл расстояние от вокзала до встречи с отцом за 50 минут, то есть он шёл в 10 раз медленнее автомобиля, и его скорость была 6 км/ч | 6 | school | 9 |
В подземном царстве живут гномы, предпочитающие носить либо зелёные, либо синие, либо красные кафтаны. Некоторые из них всегда лгут, а остальные всегда говорят правду. Однажды каждому из них задали четыре вопроса. 1. «Ты предпочитаешь носить зелёный кафтан?» 2. «Ты предпочитаешь носить синий кафтан?» 3. «Ты предпочитаешь носить красный кафтан?» 4. «На предыдущие вопросы ты отвечал честно?» На первый вопрос «да» ответили 40 гномов, на второй — 50, на третий — 70, а на четвёртый — 100. Сколько честных гномов в подземном царстве? | На 4-й вопрос и честный, и лгун ответят «да», поэтому в подземном царстве всего 100 гномов. Честный гном на один из трёх первых вопросов ответит «да», а на два — «нет». А лгун, наоборот, на два из первых трёх вопросов ответит «да», а на один — «нет». Пусть всего x честных гномов. Тогда всего на первые три вопроса
будет x + 2 * (100 – x) = 200 – x ответов «да», т. е. 200 – x = 40 + 50 + 70 = 160,
откуда x = 40. | 40 | school | 9 |
На доске записано 7 различных чисел, сумма которых равна 10. Петя умножил каждое из них на сумму остальных шести и записал 7 полученных произведений в тетрадь. Оказалось, что в тетради встречаются только четыре различных числа. Найдите одно из чисел, записанных на доске | Для каждого числа x, написанного на доске, произведение x и суммы шести оставшихся равно f(x) = x * (10−x) = 10x − x**2 . Квадратичная функция f(x) принимает все значения, кроме максимального, два раза — а именно, в точках a и 10 − a. Значит, если f(a) = f(b) при a != b, то a + b = 10. Таким образом, каждое число встречается в тетради не более двух раз. Значит, так как в тетради всего четыре различных числа, три из них встречаются по два раза, и ещ¨е одно — один раз. Таким образом, шесть из семи чисел на доске разбиваются на пары так, что сумма чисел каждой пары равна 10. Значит, сумма этих шести чисел равна 30, тогда седьмое число равно 10 − 30 = −20 | -20 | region | 9 |
На окружности длиной 1 метр отмечена точка. Из нее в одну и ту же сторону одновременно побежали два таракана с различными постоянными скоростями. Каждый раз, когда быстрый таракан догонял медленного, медленный мгновенно разворачивался, не меняя скорости. Каждый раз, когда они встречались лицом к лицу, быстрый мгновенно разворачивался, не меняя скорости. На каком расстоянии от отмеченной точки могла произойти их сотая встреча? | Назовем быстрого и медленного таракана B и M соответственно. Если таракан бежит в том же направлении, что и в момент старта, то будем говорить, что он бежит вперед, в противном случае будем говорить, что он бежит назад. До первой встречи оба таракана бегут вперед, между первой и второй встречами B бежит вперед, а M — назад. Между второй и третьей встречами оба таракана бегут назад, а между третьей и четвертой встречами B бежит назад, а M — вперед. Наконец, на четвертой встрече B разворачивается, и они оба снова начинают бег вперед. Будем следить за перемещением M. Если между двумя встречами тараканы бегут в противоположные стороны, между такими встречаем всегда проходит одно и то же время, а значит, M всегда пробегает одно и то же расстояние. Таким образом, между первой и второй встречами, а также между третьей и четвертой встречами M пробегает одно и то же расстояние в противоположных направлениях. Аналогично, когда между двумя встречами тараканы бегут в одном направлении, это тоже всегда занимает одинаковое время, и M пробегает одно и то же расстояние. Таким образом, до первой встречи, а также между второй и третьей встречами M также пробегает одно и то же расстояние в противоположных направлениях. Стало быть, в момент четвертой встречи M (а значит, и B) будет в точке старта. Далее эта ситуация будет повторяться каждые 4 встречи. Следовательно, в точке старта тараканы будут и в момент сотой встречи. | 0 | region | 9 |
Правильный треугольник T со стороной 111 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со стороной 1. Все вершины этих треугольников, кроме центра треугольника T, отмечены. Назов¨ем множество из нескольких отмеченных точек линейным, если все эти точки лежат на одной прямой, параллельной стороне T. Сколько существует способов разбить все отмеченные точки на 111 линейных множеств? (Способы, отличающиеся порядком множеств, считаются одинаковыми.) | Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной k, разобьем его на правильные треугольнички со стороной 1 и отметим все вершины этих треугольничков; полученную конструкцию назовем k-треугольником. В дальнейшем под прямыми мы всегда будем понимать прямые, параллельные сторонам этого треугольника и проходящие через хотя бы одну отмеченную точку.
Лемма. Пусть A — отмеченная точка в k-треугольнике. Тогда существует единственный способ провести k прямых
так, что все отмеченные точки, кроме, возможно, A, покрыты этими прямыми. А именно, для каждой стороны k треугольника надо провести все прямые, параллельные ей и лежащие между этой стороной и точкой A (включая саму сторону, но исключая прямую, содержащую A).
Доказательство. Индукция по k. База при k = 1 проверяется легко: надо провести прямую, содержащую две оставшихся точки, кроме A. Для перехода рассмотрим сторону k-треугольника, на которой не лежит A. Если прямая, содержащая эту сторону, не проведена, то все k + 1 отмеченных точек на этой прямой должны
быть покрыты различными прямыми; это невозможно, так как прямых k. Значит, эта прямая проведена. Выкинув ее и точки k-треугольника, лежащие на ней, получаем (k −1) - треугольник, в котором проведено k − 1 прямых с теми же условиями. Осталось применить предположение индукции Перейдем к задаче. Рассмотрим одно из разбиений на линейные множества. Для каждого множества проведем прямую, его содержащую. Тогда эти прямые покрыли все отмеченные точки 111-треугольника, кроме, возможно, его центра A. Значит, эти прямые устроены так, как описано в лемме, и для любого разбиения этот набор прямых один и тот же. Заметим, что наш 111-треугольник разбился на 6 областей: три «ромба» в углах, состоящих из точек, покрытых нашими прямыми дважды, и три «трапеции» у сторон, в которых каждая точка покрыты одной прямой. Тогда каждая точка в «трапеции» относится к множеству, лежащему на этой прямой; каждую же точку в «ромбе» можно отнести к любому из двух множеств, лежащих на проходящих через нее прямых. Все такие выборы можно сделать независимо друг от друга. Поскольку в каждом из трех «ромбов» всего 37**2 точек, получаем, что требуемых разбиений ровно 2**(3 * (37**2)) = 2**4107 | 2**4107 | region | 9 |
На доску записали 99 чисел, среди которых нет равных. В тетрадку выписали (99 * 98) / 2 чисел — все разности двух чисел с доски (каждый раз из большего числа вычитали меньшее). Оказалось, что в тетрадке число 1 записано ровно 85 раз. Пусть d — наибольшее число, записанное в тетрадке. Найдите наименьшее возможное значение d. | Докажем, что d >= 7. Все числа с доски разбиваются на цепочки чисел вида a, a + 1, a + 2, . . . , a + t так, что числа из разных цепочек не отличаются ровно на 1. Такое разбиение нетрудно построить, соединив любые два числа, отличающиеся на 1, отрезком и рассмотрев полученные ломаные. Пусть получилось k цепочек, в которых n1, n2, . . . , nk чисел соответственно (некоторые цепочки могут состоять из одного числа). В цепочке из ni чисел есть ровно ni − 1 пара чисел, отличающихся на 1. Поэтому общее количество единиц в тетрадке равно (n1 − 1) + (n2 − 1) +. . .+ (nk − 1) = (n1 + n2 +. . .+ nk) − k = 99 − k,
откуда k = 99 − 85 = 14. Значит, в одной из цепочек не меньше, чем 99 / 14 чисел, то есть не меньше 8 чисел. Разность наибольшего и наименьшего чисел в такой цепочке не меньше 8 − 1 = 7. Осталось привести пример, в котором d = 7. Такой пример дают, например, числа 0 = 0 / 14, 1 / 14, 2 / 14, ..., 98 / 14 = 7 Действительно, в этом примере d = 7, и ровно для первых 85 из этих чисел в наборе есть число, на единицу большее. | 7 | region | 9 |
На доске девять раз (друг под другом) написали некоторое натуральное число N. Петя к каждому из 9 чисел приписал слева или справа одну ненулевую цифру; при этом все приписанные цифры различны. Какое наибольшее количество простых чисел могло оказаться среди 9 полученных чисел? | Пусть S — сумма цифр числа N. Тогда суммы цифр полученных чисел будут равны S + 1, S + 2, . . . , S + 9. Три из этих сумм будут делиться на 3. По признаку делимости на 3, соответствующие три числа на доске также будут делиться на 3. При этом они будут больше 3, а значит, будут составными. Поэтому больше 6 простых чисел на доске оказаться не может. Шесть простых чисел может оказаться даже при N = 1 — например, если Петя получит, среди прочих, числа 11, 13, 41, 61, 17 и 19. | 6 | region | 9 |
В компании некоторые пары людей дружат (если A дружит с B, то и B дружит с A). Оказалось, что среди каждых 100 человек в компании количество пар дружащих людей неч¨етно. Найдите наибольшее возможное количество человек в такой компании | Во всех решениях ниже мы рассматриваем граф дружб, в котором вершины — это люди в компании, а два человека соединены ребром, если они дружат. Если граф — это цикл, содержащий 101 вершину, то на любых 100 вершинах ровно 99 ребер, так что такая компания удовлетворяет условиям задачи. Осталось показать, что не существует такой компании из 102 человек (тогда и компании из более чем 102 человек тоже быть не может). Существует всего n = 51 * 101 способов выбросить две вершины из 102, оставив 100. Пронумеруем эти способы числами от 1 до n. Пусть ai — количество ребер на оставшихся 100 вершинах в i-м способе; по предположению, все числа ai нечетны, а значит, нечетна и их сумма S (поскольку число n нечетно). С другой стороны, рассмотрим любое ребро uv. Это ребро учтено в числе ai ровно тогда, когда вершины u и v не выброшены в i-м способе, то есть когда выброшена какая-то пара из оставшихся 100 вершин. Это происходит в k = 50 * 99 способах. Итак, каждое ребро учтено в S четное количество k раз, поэтому S должно быть четным. Противоречие. | 101 | region | 9 |
Десятизначные натуральные числа a, b, c таковы, что a + b = c. Какое наибольшее количество из 30 их цифр могут оказаться нечетными? | Заметим, что если a + b = c, то все три числа a, b, c не могут оказаться одновременно нечетными. Следовательно, среди них есть как минимум одно четное число, и последняя цифра этого числа также будет четной. Таким образом, среди 30 цифр есть как минимум одна четная, а нечетных — не более 29. Пример 1 999 999 999 + 1 111 111 111 = 3 111 111 110, показывает, что среди 30 цифр могут оказаться ровно 29 нечетных. | 29 | region | 9 |
Если на столе лежит несколько кучек камней, считается, что на столе много камней, если можно найти 50 кучек и пронумеровать их числами от 1 до 50 так, что в первой кучке есть хотя бы один камень, во второй — хотя бы два камня, . . . , в пятидесятой — хотя бы пятьдесят камней. Пусть исходно на столе лежат 100 кучек по 100 камней в каждой. Найдите наибольшее n <= 10 000 такое, что после удаления из исходных кучек любых n камней на столе вс¨е равно останется много камней. (При удалении камней кучка не распадается на несколько.) | Если удалить полностью 51 кучку, то, очевидно, не останется много камней. Значит, искомое значение n меньше 5100. (Альтернативно, можно удалить из всех кучек по 51 камню.) Осталось показать, что при удалении любых n = 5099 камней останется много камней. Пусть в кучках осталось a1, a2, . . . , a100 камней соответственно; можно считать, что 0 <= a1 <= a2 <= ... <= a100 <= 100. Покажем, что ai+50 > i при i = 1, 2, . . . , 50, то есть кучки с номерами от 51 до 100 удовлетворяют требованиям. Пусть это не так, то есть ai+50 <= i−1. при некотором i <= 50. Это значит, что каждая из первых i + 50 кучек содержит не более i−1 камня, то есть из нее удалено хотя бы 101−i камней. Поэтому общее количество удаленных камней не меньше, чем (i + 50)(101 − i) = 5100 − (i − 1)(i − 50) >= 5100. Противоречие. | 5099 | allrus | 9 |
Для какого наименьшего натурального числа a существуют целые числа b и c такие, что квадратный тр¨ехчлен ax**2 + bx + c имеет два различных положительных корня, не превосходящих 1/1000? | Положим для краткости n = 1000. Пусть x1 и x2 — два различных корня трехчлена f(x) = ax**2 + bx + c, причем 0 < x1 < x2 <= 1 n . Тогда число b = −a(x1 + x2) отрицательно, а число c = ax1x2 положительно. Более того, имеем −b/a = x1 + x2 < 2/n , откуда a > − nb/2 . Поскольку корни различны, дискриминант D = b**2 − 4ac положителен. Следовательно, b**2 > 4ac > −2nbc и, значит, −b > 2nc. Поэтому a > (−b) * (n/2) > 2nc * (n/2) = (n**2)c. Пусть a = (n**2)c + d, где d — натуральное число. Предположим, что a < n**2 + n. Тогда c = 1 и d < n. Стало быть, 0 <= f(1/n) = a/(n**2) + b/n + c = d/(n**2) + b/n +2 < 1/n + b/n + 2 и, значит, −b < 2n + 1. Следовательно, −b <= 2n и D = b**2 − 4ac <= 4n**2- 4(n**2 + d) = -4d < 0. Это противоречие показывает, что d >= n. Если же a = n**2 + n, то при b = −2n − 1 и c = 1 тр¨ехчлен имеет корни x1 = 1/(n + 1) и x2 = 1/n | 1001000 | allrus | 9 |
На окружности красным цветом записали четыре различных натуральных числа. На дуге между каждыми двумя соседними красными числами записали синим цветом их произведение. Известно, что сумма всех четырёх синих чисел равна 1133. Найдите сумму всех красных чисел. | Обозначим исходные числа через 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 в порядке по часовой стрелке. Тогда синим цветом записаны числа 𝑎𝑏, 𝑏𝑐, 𝑐𝑑, 𝑑𝑎. Сумма этих чисел равна 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑑 + 𝑑𝑎 = (𝑎 + 𝑐)(𝑏 + 𝑑) = 1133. Заметим, что числа 𝑎 + 𝑐 и 𝑏 + 𝑑 больше 1, поскольку являются суммой двух натуральных чисел. Но число 1133 единственным образом раскладывается в произведение двух чисел, больших единицы: 1133 = 11 * 103. Значит, 𝑎 + 𝑐 = 11, 𝑏 + 𝑑 = 103 или наоборот. В любом случае, 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 11 + 103 = 114. | 114 | school | 10 |
В клетках таблицы 11 * 11 расставили числа от 1 до 121, каждое по разу. В каждой строке все числа идут по возрастанию слева направо, и в каждом столбце все числа идут по возрастанию сверху вниз. Назовём число особым, если оно отличается от каждого своего соседа хотя бы на 2. Какое наибольшее количество особых чисел может быть? Числа являются соседями, если они стоят в соседних по стороне клетках. | Число 1 меньше всех остальных чисел, поэтому оно должно быть первым в строке и первым в столбце, а значит, оно должно находиться в левом верхнем углу. Значит, число 2 не может быть в левом верхнем углу, поэтому либо оно не в первой строке, либо не в первом столбце. В первом случае оно должно быть больше какого-то числа в его столбце, а во втором случае — какого-то числа в его строке. Но единственное число, которое меньше 2 — это 1, поэтому числа 1 и 2 должны находиться рядом. Тогда никакое из них не может быть особым. Аналогичными рассуждениями легко получить, что число 121 должно находиться в правом нижнем углу, а число 120 должно быть рядом с ним, поэтому эти числа также не могут быть особыми. Значит, особых чисел не более 121 − 4 = 117.
| 117 | school | 10 |
Саша уже неделю смотрит все серии интересного сериала подряд. Вчера Саша посмотрел 9 серий, а сегодня всего 6. Оказалось, что сумма номеров всех серий, просмотренных вчера, равна сумме номеров всех серий, просмотренных сегодня. Какой номер имеет последняя просмотренная Сашей серия? (Серии нумеруются последовательными натуральными числами, начиная с 1.) | Обозначим за 𝑥 номер первой серии, которую Саша посмотрел вчера. Тогда номера остальных серий, просмотренных вчера, — это 𝑥 + 1, 𝑥 + 2, … , 𝑥 + 8, и сумма номеров всех вчерашних серий равна 9𝑥 + (1 + 2 + … + 8) = 9𝑥 + 36. Сегодня Саша посмотрел серии с номерами 𝑥 + 9, 𝑥 + 10, … , 𝑥 + 14, сумма которых равна 6𝑥 + (9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14) = 6𝑥 + 69. Получаем уравнение 9𝑥 + 36 = 6𝑥 + 69, откуда 𝑥 = 11. Таким образом, последняя серия, просмотренная сегодня, имеет номер 𝑥 + 14 = 25. | 25 | school | 10 |
В магазине продаются 15 видов шоколада. За неделю Андрей попробовал 6 видов, Борис — 11, а Денис — 13. Оказалось, что ни один вид шоколада не продегустировали все трое. Сколько видов шоколада попробовали и Андрей, и Борис? | Андрей не попробовал 9 видов шоколада, Борис — 4, Денис — 2. В сумме это 15, и поскольку каждый из 15 видов хотя бы кто-то не попробовал, то эти не попробованные ребятами виды шоколада не должны пересекаться. Следовательно, Андрей и Борис не попробовали в совокупности ровно 9 + 4 = 13 видов, т. е. попробовали вместе ровно 15 − 13 = 2 вида. | 2 | school | 10 |
Сумма трёх различных натуральных делителей нечётного натурального числа 𝑛 равна 10327. Какое наименьшее значение может принимать 𝑛? | Наибольший делитель числа 𝑛 равен 𝑛. Поскольку это число нечётно, второй по величине его делитель не превосходит 𝑛/3 , а третий — не превосходит 𝑛/5 . Следовательно, сумма трёх любых различных делителей не превосходит 𝑛 + 𝑛/3 + 𝑛/5 = 23𝑛/15 . Получаем, что 10327 <= 23𝑛/15 , откуда 𝑛 >= 6735. Отметим также, что число 6735 подходит под условие (оно нечётно, делится на 3 и на 5): сумма трёх его наибольших делителей равна 6735 + 6735/3 + 6735/5 = 10327. | 6735 | school | 10 |
Сколько существует троек натуральных чисел (𝑎, 𝑏, 𝑐), удовлетворяющих равенству max(𝑎, 𝑏) * max(𝑐, 12) = min(𝑎, 𝑐) * min(𝑏, 24)? Здесь min(𝑥, 𝑦) — это наименьшее из чисел 𝑥 и 𝑦, а max(𝑥, 𝑦) — наибольшее из чисел 𝑥 и 𝑦 | Заметим, что max(𝑎, 𝑏) >= 𝑏 >= min(𝑏, 24), а max(𝑐, 12) >= 𝑐 >= min(𝑎, 𝑐). Поскольку все числа натуральные, равенство в условии достигается только тогда, когда все неравенства обращаются в равенства: max(𝑎, 𝑏) = 𝑏 = min(𝑏, 24) и max(𝑐, 12) = 𝑐 = min(𝑎, 𝑐). Это равносильно тому, что 12 <= 𝑐 <= 𝑎 <= 𝑏 <= 24. Значит, в реальности нужно найти количество упорядоченных троек натуральных чисел в отрезке [12; 24] (кстати, он содержит всего 13 натуральных чисел). По набору чисел, лежащих в этом отрезке, однозначно восстанавливается, чему равны 𝑎, 𝑏, 𝑐 (ведь 𝑐 <= 𝑎 <= 𝑏). Какие бывают варианты? 1) Все три числа разные. Количество способов выбрать 3 различных числа из 13 равно 286. 2) Какие-то два числа совпадают. Количество способов выбрать 2 различных числа равно 78. При этом нужно ещё установить, какое именно из этих чисел встречается дважды, поэтому количество способов в этом случае равно 78 * 2 = 156. 3) Все три числа совпадают. Количество способов в этом случае — 13. Итак, общее количество способов равно 286 + 156 + 13 = 455. | 455 | school | 10 |
В каждую клетку таблицы 5 * 5 невидимыми чернилами вписано натуральное число. Известно, что сумма всех чисел равна 200, а сумма трёх чисел, находящихся внутри любого прямоугольника 1 * 3, равна 23. Чему равно центральное число в таблице? | Разобьём квадрат 5 * 5 без центральной клетки на четыре прямоугольника 2 * 3, а каждый из них разобьём на два прямоугольника 1 * 3. Получится 8 прямоугольников 1 * 3, сумма чисел в каждом из которых равна 23. Поскольку сумма вообще всех чисел равна 200, находим число в центральной клетке как 200 − 23 * 8 = 16.
| 16 | school | 10 |
Известно, что (𝑎 + 𝑏) / (𝑎 - 𝑏) = 3. Найдите значение выражения (𝑎**2 - 𝑏**2) / (𝑎**2 + 𝑏**2) | Домножив равенство (𝑎 + 𝑏) / (𝑎 − 𝑏) = 3 на знаменатель, получим 𝑎 + 𝑏 = 3𝑎 − 3𝑏. Перенеся 𝑎 направо, а 3𝑏 налево, получим 4𝑏 = 2𝑎, откуда 𝑎 = 2𝑏. Подставив 𝑎 = 2𝑏 во второе выражение, получим (4𝑏**2 − 𝑏**2) / (4𝑏**2 + 𝑏**2) = 0,6. | 0,6 | school | 10 |
У Юры есть 𝑛 карточек, на которых написаны числа от 1 до 𝑛. После того, как Юра потерял одну из них, сумма чисел на оставшихся оказалась равна 101. Какое число написано на потерянной карточке? | Предположим, что 𝑛 <= 13. Тогда 1 + 2 + … + 𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1) 2 <= 91 < 101. Какую бы карточку Юра ни потерял, в любом случае общая сумма получится меньше 101, противоречие. Предположим 𝑛 >= 15. Потерянная карточка Юры содержит число не больше 𝑛, поэтому сумма оставшихся карточек не меньше 1 + 2 + … + (𝑛 − 1) = 𝑛(𝑛 − 1) / 2 >= 105 > 101, противоречие. Следовательно, 𝑛 = 14, а потерянное число равно 1 + 2 + … + 14 − 101 = 105 − 101 = 4 | 4 | school | 10 |
В центральной клетке доски 21 * 21 находится фишка. За один ход можно передвинуть фишку в соседнюю по стороне клетку. Алина сделала 10 ходов. Сколько существует клеток, где может оказаться фишка? | Покрасим всю доску в шахматную раскраску так, чтобы центральная клетка доски была чёрной. При передвижении фишки в соседнюю по стороне клетку каждый раз будет меняться цвет клетки, на которой стоит фишка. Спустя нечётное число ходов фишка всегда оказывается на белой клетке, а спустя чётное число ходов — на чёрной. Следовательно, после 10 ходов фишка точно окажется на чёрной клетке. Покажем, что во все чёрные клетки, в которые возможно попасть не более, чем за 10 ходов, можно попасть и ровно за 10 ходов. Рассмотрим произвольную чёрную клетку 𝐴, в которую можно попасть менее чем за 10 ходов из центральной. Поскольку к моменту попадания в клетку 𝐴 было сделано чётное количество ходов, меньшее 10, то дальше можно просто передвигать фишку в соседнюю клетку и обратно, пока не будет сделано ровно 10 ходов. Значит, нам надо посчитать количество чёрных клеток, в которые можно попасть не более чем за 10 ходов. За 0 ходов можно попасть только в начальную клетку, за 2 хода можно попасть в начальную клетку и в 4 * 2 = 8 новых клеток, за 4 хода можно попасть в те клетки, в которые уже попадали, и в 4 * 4 = 16 новых клеток и так далее. Получаем, что количество клеток, в которые можно попасть не более чем за 10 шагов, равно 1 + 8 + 16 + 24 + … + 40 = 1 + 8(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 121. | 121 | school | 10 |
У Олега есть четыре карточки, на каждой из которых с одной и с другой стороны написаны натуральные числа (всего написано 8 чисел). Он рассматривает всевозможные четвёрки чисел, где первое число написано на первой карточке, второе — на второй, третье — на третьей, четвёртое — на четвёртой. Затем для каждой четвёрки он выписывает произведение чисел к себе в блокнот. Чему равна сумма восьми чисел на карточках, если сумма шестнадцати чисел в блокноте Олега равна 330? | Обозначим числа на одной карточке за 𝑎 и 𝑏, на другой — за 𝑐 и 𝑑, на третьей — за 𝑒 и 𝑓, на четвёртой— за 𝑔 и ℎ. По условию сумма 16 слагаемых вида 𝑎𝑐𝑒𝑔 + 𝑎𝑐𝑒ℎ + … + 𝑏𝑑𝑓ℎ равна 330. Заметим, что эта же сумма получается при раскрытии всех скобок в выражении (𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑑)(𝑒 + 𝑓)(𝑔 + ℎ). Следовательно, (𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑑)(𝑒 + 𝑓)(𝑔 + ℎ) = 330 = 2 * 3 * 5 * 11. Поскольку все числа являются натуральными, каждая из скобок больше 1. Значит, скобки равны числам 2, 3, 5, 11 в некотором порядке. Тогда их сумма равна 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 + 𝑓 + 𝑔 + ℎ = 2 + 3 + 5 + 11 = 21 | 21 | school | 10 |
Двое рабочих за два часа вырыли траншею. При этом первый рабочий устал и начал работать втрое медленней, а второй рабочий раззадорился и начал работать втрое быстрее, так что на прокладку второй такой траншеи у них ушёл один час. Во сколько раз производительность второго превосходила производительность первого изначально?
| Пусть изначально производительность первого рабочего была равна x, а производительность второго рабочего была равна y. Заметим, что при прокладке второй траншеи суммарная производительность рабочих была вдвое выше изначальной, поэтому 2(x + y) = 1/3 x + 3y; y = 5/3 x. Значит, производительность второго была в 5/3 раза выше производительности первого | 5/3 | school | 10 |
Замок Персиваля имел квадратную форму. Однажды Персиваль решил расширить свои владения и добавил к замку квадратную пристройку. В результате периметр замка увеличился на 10%. На сколько процентов увеличилась площадь замка? | Пусть ширина замка равна a, а ширина пристройки — b. Тогда первоначальный периметр равен 4a, а итоговый периметр равен 4a + 2b. Тогда: 1,1 * 4a = 4a + 2b следовательно b = 0,2a . Отсюда площадь замка стала равна a**2 + (0,2a)**2 = 1,04a**2 , то есть площадь увеличилась на 4%. | 4 | school | 10 |
Известно, что a**2 + b = b**2 + c = c**2 + a. Какие значения может принимать выражение a(a**2 − b**2) + b(b**2 − c**2) + c(c**2 − a**2)? | Заметим, что равенство a**2 + b = b**2 + c можно записать в виде: a**2 − b**2 = c − b. Аналогично имеем b**2 − c**2 = a − c, c**2 − a**2 = b − a. Подставляя эти равенства в искомые выражения, получаем, что a(a**2 − b**2) + b(b**2 − c**2) + c(c**2 − a**2) = a(c − b) + b(a − c) + c(b − a) = 0 | 0 | school | 10 |
Несколько мудрецов построилось в колонну. На всех были либо черные, либо белые колпаки. Оказалось, что среди любых 10 подряд идущих мудрецов поровну мудрецов с белыми и с черными колпаками, а среди любых 12 подряд идущих — не поровну. Какое наибольшее количество мудрецов могло быть? | Докажем, что больше 15 мудрецов быть не может. Предположим противное, пусть мудрецов хотя бы 16. Последовательно занумеруем всех мудрецов. Рассмотрим девять подряд идущих мудрецов. Если к ним добавить одного из двух соседних мудрецов, то среди них будет одинаковое число мудрецов с белыми и чёрными колпаками, поэтому на любых мудрецах, между которыми находится 9 мудрецов, надеты колпаки одинакового цвета. Без ограничения общности, на первом мудреце надет чёрный колпак. Тогда на одиннадцатом мудреце также чёрный колпак. Если на двенадцатом мудреце надет белый колпак, то среди первых двенадцати мудрецов будет поровну белых и чёрных колпаков. Поэтому на двенадцатом мудреце надет чёрный колпак, откуда и на втором мудреце надет чёрный колпак. Аналогично рассмотрев мудрецов со второго по одиннадцатого, получим что на мудрецах 3 и 13 надеты колпаки чёрного цвета. Рассмотрев мудрецов с третьего по двенадцатого, получим, что на мудрецах 4 и 14 надеты колпаки чёрного цвета. Аналогично на мудрецах 5 и 15, 6 и 16 надеты колпаки чёрного цвета. Но тогда среди первых десяти мудрецов на первых шести чёрные колпаки, поэтому чёрных колпаков будет больше. Противоречие. 15 мудрецов может быть: пусть на первых 5 и последних 5 мудрецах надеты чёрные колпаки, а на оставшихся 5 надеты белые колпаки. Несложно понять, что тогда условие задачи будет выполнено. | 15 | school | 10 |
Участвуя в шахматном турнире, Вася сыграл 52 партии. По старой системе подсчёта очков (1 очко за победу, 1/2 очка за ничью и 0 очков за поражение) он набрал 35 очков. Сколько очков он набрал по новой системе подсчёта очков (1 очко за победу, 0 очков за ничью и –1 очко за поражение)? | Пусть Вася в турнире a раз победил, b раз сыграл вничью и c раз проиграл. Тогда a + b + c = 52, a + b/2 = 35. Нужно найти значение a – c. Из второго соотношения следует, что b = 70 – 2a. Тогда a + (70 – 2a) + c = 52, откуда 70 + c – a = 52, a – c = 18. | 18 | school | 10 |
Петя показал Васе 37 внешне одинаковых карточек, выложенных в ряд. Он сказал, что на закрытых сторонах карточек записаны все числа от 1 до 37 (каждое по одному разу) так, что число на любой карточке начиная со второй является делителем суммы чисел, написанных на всех предшествующих карточках. Затем Петя показал Васе, что на первой карточке написано число 37, а на второй — число 1. Вася сказал, что он тогда знает, какое число написано на третьей карточке. Какое? | Сумма всех чисел, кроме последнего, делится на последнее число, значит, сумма всех чисел также делится на последнее число. Сумма всех чисел от 1 до 37 равна 19 * 37. Значит, последнее число равно 1, 19 или 37. Так как 1 и 37 стоят на первом и втором местах, последнее число — 19. Третье число — делитель числа 37 + 1 = 38, то есть оно равно 1, 2 или 19. Мы знаем, что числа 1 и 19 расположены не на третьем месте, поэтому на третьем месте стоит число 2 | 2 | school | 10 |
Петя сбегает с четвёртого этажа на первый на 2 секунды быстрее, чем мама едет на лифте. Мама едет на лифте с четвёртого этажа на первый на 2 секунды быстрее, чем Петя сбегает с пятого этажа на первый. За сколько секунд Петя сбегает с четвёртого этажа на первый? (Длины пролетов лестницы между всеми этажами одинаковы). | Между первым и четвертым этажами 3 пролета, а между пятым и первым – 4. Согласно условию, Петя 4 пролета пробегает на 2 секунды дольше, чем мама едет на лифте, а три пролета – на 2 секунды быстрее мамы. Значит, за 4 секунды Петя пробегает один пролет. Тогда с четвертого этажа на первый (т.е. на 3 пролета) Петя сбегает за 4 * 3 = 12 секунд. | 12 | school | 10 |
На числовой прямой закрашивают красным и синим цветом точки с целыми координатами по следующим правилам: а) точки, разность координат которых равна 7, должны быть покрашены одним цветом; б) точки с координатами 20 и 14 должны быть покрашены красным, а точки с координатами 71 и 143 — синим. Сколькими способами можно раскрасить все точки с целыми координатами, соблюдая эти правила? | Из пункта а) следует, что раскраска всех точек с целыми координатами однозначно определяется раскраской точек, соответствующих числам 0, 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Точка 0 = 14 * 2 * 7 должна быть покрашена так же как 14, т.е. красным. Аналогично, точка 1 = 71 - 10 * 7 должна быть покрашена синим, точка 3 = 143 - 20 * 7 – синим, и 6 = 20 - 2 * 7 – красным. Поэтому остается только посчитать, сколькими различными способами можно раскрасить точки, соответствующие числам 2, 4 и 5. Так как каждую точку можно раскрасить двумя способами – красным или синим – то всего способов 2 * 2 * 2 = 8. | 8 | school | 10 |
Каждый из 10 гномов либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Известно, что каждый из них любит ровно один сорт мороженого: сливочное, шоколадное или фруктовое. Сначала Белоснежка попросила поднять руки тех, кто любит сливочное мороженое, и все подняли руки, потом тех, кто любит шоколадное мороженое – и половина гномов подняли руки, потом тех, кто любит фруктовое мороженое – и руку поднял только один гном. Сколько среди гномов правдивых? | Гномы, которые всегда говорят правду, подняли руку один раз, а гномы, которые всегда лгут, – два раза. Всего было поднято 16 рук (10 + 5 + 1). Если бы все гномы сказали правду, то было бы поднято 10 рук. Если одного правдивого гнома заменить на одного лгуна, то число поднятых рук увеличится на 1. Так как было поднято 6 «лишних» рук, то 6 гномов солгали, а 4 сказали правду | 4 | school | 10 |
По кругу стоят 100 белых точек. Аня и Боря красят по очереди по одной еще не покрашенной точке в красный или синий цвет, начинает Аня. Аня хочет, чтобы в итоге оказалось как можно больше пар разноцветных соседних точек, а Боря — чтобы оказалось как можно меньше таких пар. Какое наибольшее число пар разноцветных соседних точек Аня может гарантировать себе независимо от игры Бори? | Нужно показать, что Аня всегда может добиться, чтобы разноцветных пар было не меньше 50, а Боря сможет помешать ей добиться, чтобы таких пар было больше 50. Стратегия Ани. Первым ходом Аня красит в любой цвет любую точку, а дальше каждым ходом выбирает пару из непокрашенной точки и стоящей рядом с ней покрашенной (такая, очевидно, найдется), и красит непокрашенную точку в цвет, отличный от цвета покрашенной. При этом образуется новая пара соседних разноцветных точек. Стратегия Бори. Каждым ходом Боря выбирает пару из непокрашенной точки и стоящей рядом с ней покрашенной, и красит непокрашенную точку в цвет, совпадающий с цветом покрашенной. При этом образуется новая пара соседних одноцветных точек. Обоснование правильности стратегий. Всего в круге имеется 100 пар соседних точек, и каждый игрок делает за игру по 50 ходов. Сделав свои ходы, Боря добьется того, что из этих 100 пар хотя бы 50 будут одноцветными, а Аня — что хотя бы 49 из них будут разноцветными. Однако заметим, что количество разноцветных пар всегда четно. Действительно, после окончания игры пройдем полный круг, начиная с какой-то отмеченной точки (пусть для определенности с красной). Группы из идущих подряд красных и синих точек при этом будут чередоваться: К—С—К—С—. . . —К, и значит, встретим пар разноцветных соседей вида K—C столько же, сколько пар вида С—К. Поэтому если пар разноцветных соседних точек не меньше 49, то их хотя бы 50.
| 50 | region | 10 |
У Васи есть n конфет нескольких сортов, где n > 145. Известно, что если из данных n конфет выбрать любую группу, содержащую не менее 145 конфет (в частности, можно выбрать группу из всех данных n конфет), то существует такой сорт конфет, что выбранная группа содержит в точности 10 конфет этого сорта. Найдите наибольшее возможное значение n. | Оценка. Докажем, что n > 160 «не работает». Пусть дан набор из n конфет. Назовем сорт критическим, если конфет этого сорта ровно 10 (среди всех данных n конфет). Пусть у нас k критических сортов, тогда всего конфет не менее 10k: n >= 10k. Уберем по одной конфете каждого критического сорта и организуем группу из оставшихся n − k конфет. Для этой группы нет сорта, представленного ровно 10 конфетами. Кроме того, n − k > n − n/10 = 9n/10 >= (9 * 160) / 10 = 144. Значит, в рассматриваемой группе не менее 145 конфет, поэтому условие задачи не выполняется. Пример. Теперь привед¨ем пример ситуации, в которой у Васи может быть 160 конфет. Пусть у него есть ровно по 10 конфет 16 сортов. Пусть выбрана группа, для которой нет сорта, представленного ровно 10 конфетами. Тогда в эту группу не входит хотя бы одна конфета каждого сорта (иначе говоря, ни один сорт не будет взят полностью), т.е. группа содержит не более 16 * 9 = 144 конфет, значит, условие задачи выполнено | 160 | region | 10 |
На доску выписали три натуральных числа: два десятизначных числа a и b, а также их сумму a+b. Какое наибольшее количество нечетных цифр могло быть выписано на доске? | Заметим, что в числе a + b не более 11 разрядов, таким образом всего на доске выписано не более 31 цифры. При этом все три числа a, b, a + b не могут оказаться одновременно неч¨етными. Следовательно, одна из их тр¨ех последних цифр — ч¨етная, поэтому неч¨етных цифр выпсано не более 30. Привед¨ем пример, показывающий, что неч¨етных цифр могло оказаться ровно 30: 5 555 555 555 + 5 555 555 555 = 11 111 111 110. | 30 | region | 10 |
Олег нарисовал пустую таблицу 50 * 50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по ненулевому числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 — иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца («таблица умножения»). Какое наибольшее количество произведений в этой таб- лице могли оказаться рациональными числами? | Сначала покажем, что иррациональных чисел в таблице не меньше 1250. Пусть вдоль левой стороны таблицы выписано x иррациональных и 50 − x рациональных чисел. Тогда вдоль верхней стороны выписаны 50 − x иррациональных и x рациональных чисел. Поскольку произведение ненулевого ра- ционального и иррационального чисел всегда иррационально, в таблице стоит хотя бы x**2+(50−x)**2 иррациональных чисел. При этом x**2 + (50 − x)**2 = 2x**2 − 100x + 502 = 2(x − 25)**2 + 2 * 25**2 > > 2 * 25**2 = 1250, что и требовалось. Отсюда следует, что в таблице не более 2500 − 1250 = 1250 рациональных чисел. Ровно 1250 рациональных чисел в таблице может быть, например, в таком случае. Вдоль левой стороны стоят числа 1, 2, . . . , 24, 25, 2**(1/2), 2*(2**(1/2)), . . . , 25*(2)**(1/2), а вдоль верхней стороны — числа 26, 27, . . . , 49, 50, 26*(2**(1/2)), 27*(2**(1/2)), . . . , 50*(2**(1/2)). Тогда иррациональными будут только 2 * 25**2 = 1250 произведений рационального и иррационального чисел | 1250 | region | 10 |
Даны квадратные трёхчлены f1(x), f2(x), . . . , f100(x) с одинаковыми коэффициентами при x 2 , одинаковыми коэффициентами при x, но различными свободными членами; у каждого из них есть по два корня. У каждого трёхчлена fi (x) выбрали один корень и обозначили его через xi . Какие значения может принимать сумма f2(x1) + f3(x2) + . . . + f100(x99) + f1(x100)? | Пусть i-й трёхчлен имеет вид fi (x) = ax**2+bx+ci . Тогда f2(x1) = a(x1)**2 + bx1 + c2 = (a(x1)**2 + bx1 + c1) + (c2 − c1) = c2 − c1, поскольку f1(x1) = 0. Аналогично получаем равенства f3(x2) = = c3 − c2, . . . , f100(x99) = c100 − c99 и f1(x100) = c1 − c100. Складывая полученные равенства, получаем f2(x1) + f3(x2) + . . . + f1(x100) = (c2 − c1) + . . . + (c1 − c100) = 0. Значит, единственное возможное значение суммы — ноль. | 0 | region | 10 |
После просмотра фильма зрители по очереди оценивали фильм целым числом баллов от 0 до 10. В каждый момент времени рейтинг фильма вычислялся как сумма всех выставленных оценок, делённая на их количество. В некоторый момент времени T рейтинг оказался целым числом, а затем с каждым новым проголосовавшим зрителем он уменьшался на единицу. Какое наибольшее количество зрителей могло проголосовать после момента T? | Рассмотрим некоторый момент, когда рейтинг уменьшился на 1. Пусть перед этим проголосовало n человек, и рейтинг был целым числом x. Значит, сумма баллов стала равна nx. Пусть следующий зритель выставил y баллов. Тогда сумма баллов стала равна nx+y = (n+1)(x−1), откуда y = x−n−1. Наибольшее возможное значение x равно 10, а наименьшее возможное значение n равно 1; значит, наибольшее значение y (на первом таком шаге) равно 8. С каждым следующим шагом значение x уменьшается на 1, а значение n увеличивается на 1. Следовательно, на втором шаге значение y не превосходит 6, на третьем — 4, и т.д. Поскольку любая оценка не меньше 0, число шагов не превосходит 5. Осталось показать, что пять шагов возможны. Пусть рейтинг в момент T равен 10 (при одном проголосовавшем), затем второй зритель выставляет 8 баллов, третий — 6, четвёртый — 4, пятый — 2, а шестой — 0. Тогда рейтинг последовательно принимает значения 9, 8, 7, 6 и 5. | 5 | region | 10 |
Девять действительных a1, a2, ..., a9 образуют арифметическую прогрессию. Известно, что a9 в 3 раза больше среднего арифметического этих девяти чисел. Найдите a1, если известно, что a4 = 6. | Пусть 𝑎 — первый член прогрессии, а 𝑑 — её разность, тогда девять членов прогрессии равны 𝑎, 𝑎 + 𝑑, 𝑎 + 2𝑑, …, 𝑎 + 8𝑑. Среднее арифметическое чисел в арифметической прогрессии, состоящей из нечётного числа членов, равно среднему из этих чисел, т. е. в данном случае 𝑎 + 4𝑑. Получаем уравнение 𝑎 + 8𝑑 = 3(𝑎 + 4𝑑), откуда следует 𝑎 + 8𝑑 = 3𝑎 + 12𝑑 и 𝑎 = −2𝑑. Тогда 6 = 𝑎4 = 𝑎 + 3𝑑 = 𝑑. Значит, 𝑎1 = −2𝑑 = −12. | -12 | school | 11 |
В сосуде, имеющем форму правильной треугольной призмы, находилась вода, причём её уровень составлял 30 сантиметров. Всю эту воду перелили в пустой сосуд, имеющий форму правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой вдвое меньше стороны основания треугольной призмы. Чему равен уровень воды теперь? Ответ выразите в сантиметрах | В обоих случаях часть, занятая водой, имеет форму правильной призмы: в одном случае треугольной, в другой — шестиугольной. Объём правильной призмы, одинаковый в обоих случаях, равен произведению площади основания на высоту. Следовательно, отношение высот призм (отношение уровней воды) обратно отношению площадей их оснований. Если бы шестиугольная призма имела такую же сторону основания, как и треугольная, её площадь основания была бы в 6 раз больше, т. к. правильный шестиугольник можно разбить на 6 правильных треугольников с такой же стороной. При уменьшении стороны в 2 раза площадь уменьшается в 2**2 = 4 раза, поэтому площадь основания шестиугольной призмы в 6/4 = 1,5 раза больше площади основания треугольной призмы. Но тогда уровень воды в ней в 1,5 раза меньше, т. е. он составляет 30/1,5 = 20 сантиметров. | 20 | school | 11 |
Андрей, Борис и Влад зашли в магазин. Андрей купил 1 мороженое, 2 булочки и 3 шоколадки и заплатил за это 235 рублей. Борис купил 3 порции мороженого, 2 булочки и 1 шоколадку и заплатил за это 205 рублей. Сколько рублей должен будет заплатить Влад, если он купит 6 порций мороженого, 5 булочек и 4 шоколадки? | Если сложить покупки Андрея и Бориса, то мы получим, что 4 порции мороженого, 4 булочки и 4 шоколадки стоят 235 + 205 = 440 рублей. Отсюда можно понять, что 1 мороженое, 1 булочка и 1 шоколадка стоят суммарно 440/4 = 110 рублей. Если теперь это умножить на 3 и добавить покупку Бориса, то мы как раз получим 6 порций мороженого, 5 булочек и 4 шоколадки. Значит, искомая стоимость равна 110 * 3 + 205 = 535 рублей. | 535 | school | 11 |
Найдите наибольшее натуральное число, которое в 9 раз больше своего остатка от деления на 1024. | Обозначим неполное частное от деления исходного числа на 1024 через 𝑘, а остаток от деления — через 𝑟. Тогда исходное число равно 1024𝑘 + 𝑟, а также по условию это равно 9𝑟. Отсюда получаем 8𝑟 = 1024𝑘, т. е. 𝑟 = 128𝑘. Поскольку 𝑟 — остаток от деления на 1024, то 𝑟 < 1024. Наибольшее число, делящееся на 128 и меньшее 1024 = 128 * 8, равно 128 * 7. Значит, наибольшее возможное исходное число равно 9𝑟 = 9 * 128 * 7 = 8064 — ясно, что оно подходит под условие задачи | 8064 | school | 11 |
В стране 15 городов. Между каждыми двумя из них либо есть дорога, либо её нет. Оказалось, что для любого города A найдутся такие три города, что они между собой попарно не соединены дорогами, но каждый из них соединён дорогой с A. Какое наибольшее количество дорог может быть в этой стране? | Рассмотрим произвольный город A. По условию найдутся города B, C, D такие, что они соединены с A, но попарно не соединены между собой. В частности, это означает, что C и D не соединены с B. Теперь рассмотрим город B. Для него тоже должны найтись соответствующие 3 города. Заметим, что это не могут быть города C и D, поскольку они не соединены с B. Значит, должны найтись города K , L и M, попарно не соединённые между собой (среди них, возможно, есть город 𝐴). Но тогда в стране нет хотя бы 6 дорог: BC, CD, BD, 𝐾𝐿, 𝐿𝑀, 𝐾𝑀. Всего возможных дорог в стране 1/2 * 15 * 14 = 105 , из которых хотя бы 6 отсутствует. Значит, всего дорог не более 105 - 6 = 99 . Теперь поймём, что дорог может быть ровно 99. Пронумеруем города числами от 1 до 15. Пусть города 1, 2, 3 попарно не соединены между собой, а также города 4, 5, 6 попарно не соединены между собой, а любые другие пары городов дорогой соединены. Проверим, что условие задачи выполняется. Действительно, если в качестве города 𝐴 из условия задачи взять город из первой тройки, то для него подходит тройка городов 4, 5, 6. Если же в качестве города 𝐴 из условия взять город не из первой тройки, то для него подходит тройка городов 1, 2, 3. | 99 | school | 11 |
Маша живёт в квартире №290, которая находится в 4-м подъезде 17-этажного дома. На каком этаже живёт Маша? (Количество квартир одинаково во всех подъездах дома на всех 17 этажах; номера квартир начинаются с 1.) | Обозначим за 𝑥 количество квартир на этаже, тогда в каждом подъезде 17𝑥 квартир. Таким образом, в первых трёх подъездах будет 51𝑥 квартир, а в первых четырёх — 68𝑥. Если 𝑥 >= 6, то в первых трёх подъездах хотя бы 306 квартир, поэтому квартира №290 не может располагаться в четвёртом подъезде. А если 𝑥 <= 4, то в первых четырёх подъездах будет не больше 272 квартир, то есть снова квартира №290 не может располагаться в четвёртом подъезде. Остаётся единственный вариант, когда 𝑥 = 5. Тогда в первых трёх подъездах 255 квартир, а квартира №290 является 35-й в четвёртом подъезде, т. е. расположена на 7-м этаже. | 7 | school | 11 |
На столе лежат 30 монет: 23 десятирублёвых и 7 пятирублёвых, причём 20 из этих монет лежат вверх орлом, а остальные 10 — решкой. При каком наименьшем 𝑘 среди произвольно выбранных 𝑘 монет обязательно найдётся десятирублёвая монета, лежащая орлом вверх? | Если выбрать 18 монет, то среди них окажется не более 10 лежащих решкой вверх, поэтому хотя бы 8 монет будут лежать орлом вверх. Среди этих монет не более 7 пятирублёвых, поэтому хотя бы одна будет десятирублёвой, она-то нам и подойдёт. С другой стороны, если исходно на столе лежат 7 пятирублёвых монет орлом вверх, 10 десятирублёвых монет решкой вверх и 13 десятирублёвых монет орлом вверх, то среди 17 монет могут оказаться только монеты первых двух типов, поэтому 17 монет (или меньше) может не хватить. | 18 | school | 11 |
Произведение положительных чисел 𝑎 и 𝑏 равно 1. Известно, что (3𝑎 + 2𝑏)(3𝑏 + 2𝑎) = 295. Найдите 𝑎 + 𝑏. | Раскрыв скобки, получаем 295 = 6𝑎**2 + 6𝑏**2 + 13𝑎𝑏 = 6(𝑎**2 + 𝑏**2) + 13, откуда 𝑎**2 + 𝑏**2 = 47. Тогда
(𝑎 + 𝑏)**2 = 𝑎**2 + 𝑏**2 + 2𝑎𝑏 = 47 + 2 = 49 = 7**2, что даёт 𝑎 + 𝑏 = 7 (отметим, что 𝑎 + 𝑏 > 0, поскольку 𝑎 > 0 и 𝑏 > 0).
| 7 | school | 11 |
При каком наименьшем натуральном 𝑛 можно расставить числа от 1 до 𝑛 по кругу так, чтобы каждое число было либо больше всех 40 следующих за ним по часовой стрелке, либо меньше всех 30 следующих за ним по часовой стрелке? | Если 𝑛 <= 39, то для числа 𝑛 условие выполняться не может: оно не может быть ни больше 40 следующих за ним чисел (ведь оно не больше самого себя), ни меньше 30 следующих за ним чисел (ведь оно наибольшее). Если 40 <= 𝑛 <= 69, то для числа 40 условие выполняться не может: нет ни 40 чисел, меньших его, ни 30 чисел, больших его. Если же 𝑛 = 70, то числа расставить получится. Для этого можно поставить их в следующем порядке по часовой стрелке: 1, 2, 3, …, 40, 70, 69, 68, …, 41. Тогда числа от 1 до 40 окажутся меньше следующих 30 за ними, а числа от 70 до 41 — больше следующих 40 за ними. | 70 | school | 11 |
У многочлена 𝑃(𝑥) все коэффициенты — целые неотрицательные числа. Известно, что 𝑃(1) = 4 и 𝑃(5) = 152. Чему равно 𝑃(11)? | Можно заметить, что 𝑃(1) = 4 — это в любом случае сумма коэффициентов многочлена 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥**𝑛 +… + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 , откуда каждый из них не превосходит 4. Тогда эти коэффициенты можно считать цифрами в пятеричной системе счисления, а значение многочлена в точке 5 — как раз число, записанное этими цифрами: 152 = 𝑃(5) = (5**𝑛)𝑎𝑛 + … + 5𝑎1 + 𝑎0 . Так как 15210 = 11025 , а представления чисел в пятеричной системе единственны, то 𝑃(𝑥) = 1𝑥**3 + 1𝑥**2 + 0𝑥 + 2. | 1454 | school | 11 |
Произведение девяти последовательных натуральных чисел делится на 1111. Какое наименьшее возможное значение может принимать среднее арифметическое этих девяти чисел? | Пусть эти девять чисел — 𝑛, 𝑛+1, … , 𝑛+8 для некоторого натурального 𝑛. Ясно, что их среднее арифметическое равно 𝑛 + 4. Чтобы произведение делилось на 1111 = 11 * 101, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из множителей делился на 11, а также хотя бы один из множителей делился на 101. Тогда какое-то из девяти чисел не меньше 101, поэтому 𝑛 + 8 >= 101 и 𝑛 + 4 >= 97. Ясно также, что для девяти чисел 93, 94, … , 101 значение 𝑛+4 = 97 достигается, ведь 99 делится на 11, а 101 делится на 101. | 97 | school | 11 |
В турнире по футболу участвовало 15 команд, каждая сыграла с каждой ровно один раз. За победу давалось 3 очка, за ничью — 1 очко, а за поражение — 0 очков. После завершения турнира оказалось, что некоторые 6 команд набрали хотя бы 𝑁 очков каждая. Какое наибольшее целое значение может принимать 𝑁? | Назовём эти 6 команд успешными, а остальные 9 команд назовём неуспешными. Назовём игру двух успешных команд внутренней, а игру успешной и неуспешной команды — внешней. Сразу заметим, что за каждую игру участвующие в ней команды суммарно получают не более 3 очков. Ясно, что внутренних игр было ровно (6 * 5) / 2 = 15, и только за такие игры все успешные команды суммарно заработали не более 15 * 3 = 45 очков. Внешних же игр было ровно 6 * 9 = 54, и в каждой такой игре успешная команда зарабатывала не более 3 очков. Итого за внешние игры все успешные команды суммарно набрали не более 54 * 3 = 162 очка. По условию успешные команды суммарно набрали хотя бы 6𝑁 очков, поэтому получаем неравенство 6𝑁 <= 45 + 162. Из него следует, что 𝑁 <= 207/6 < 35 и 𝑁 <= 34. Теперь приведём пример для 𝑁 = 34. Пронумеруем команды числами от 1 до 15. Покажем, как команды от 1 до 6 могут набрать хотя бы 34 очка. Пусть каждая команда от 1 до 6 выиграла у каждой команды от 7 до 15, тогда только за такие игры каждая команда от 1 до 6 набрала 9 * 3 = 27 очков. Пусть в каждой игре команд от 7 до 15 выиграла команда с большим номером (исход этих игр не имеет значения).
Итого команды от 1 до 6 набрали хотя бы 27 + 7 = 34 очка. | 34 | school | 11 |
В стране 110 городов. Между каждыми двумя из них либо есть дорога, либо её нет. Автомобилист находился в некотором городе, из которого вела ровно одна дорога. Проехав по дороге, он оказался во втором городе, из которого вели уже ровно две дороги. Проехав по одной из них, он оказался в третьем городе, из которого вели уже ровно три дороги, и так далее. В какой-то момент, проехав по одной из дорог, он оказался в 𝑁-м городе, из которого вели уже ровно 𝑁 дорог. На этом автомобилист своё путешествие прекратил. (Для каждого 2 <= 𝑘 <= 𝑁 из 𝑘-го города выходило ровно 𝑘 дорог с учётом той, по которой автомобилист в этот город приехал.) Какое наибольшее значение может принимать 𝑁? | Пронумеруем города в порядке их посещения автомобилистом: 1, 2, 3, … , 𝑁. Предположим, 𝑁 >= 108. Из города 1 ведёт дорога только в город 2, поэтому из города 108 все дороги ведут во все 108 городов, кроме 1 и 108. Но тогда из города 2 ведёт хотя бы три дороги: в города 1, 3 и 108. Противоречие, значит, 𝑁 <= 107. Приведём пример для 𝑁 = 107. Пусть города имеют номера 1, 2, 3, … , 109, 110. Пусть для всех 1 <= 𝑖 <= 54 есть дорога из города 𝑖 в город 𝑖 + 1; для всех 56 <= 𝑗 <= 107 есть дороги из города 𝑗 во все города с 110 − 𝑗 по 110 включительно, кроме самого города 𝑗; из города 55 есть дороги в города 109 и 110; никаких других дорог в стране нет. Несложно убедиться, что для всех 1 <= 𝑘 <= 107 из города 𝑘 ведёт ровно 𝑘 дорог. По этим городам и мог проехать автомобилист. | 107 | school | 11 |
Внутри круга нарисовано 16 радиусов этого круга и 10 окружностей, центры которых совпадают с центром круга. На сколько областей радиусы и окружности делят круг? | 10 окружностей разбивают круг на 10 колец и один меньший круг, всего 11 частей. 16 радиусов разбивают каждую из 11 частей ещё на 16. Всего получается 11 * 16 = 176 областей. | 176 | school | 11 |
Вдоль дороги в один ряд стоят 25 столбов. Иногда на один из столбов садится чиж, и сразу же с одного из соседних столбов взлетает чиж (если на соседних столбах в этот момент хоть кто-нибудь сидел). Также на каждом столбе не может сидеть более одного чижа. Первоначально на столбах нет птиц. Какое наибольшее количество чижей могут одновременно находиться на столбах? | Сперва покажем, что все столбы занять не удастся. Предположим, такое произошло. Рассмотрим чижа, который сел последним. Поскольку он занял последний незанятый столб, рядом с ним обязательно был занятый столб. Следовательно, чиж, который сидел на этом столбе, должен был улететь. Противоречие. Теперь приведём пример того, как чижи могли занять 24 столба. Для удобства пронумеруем все столбы по порядку. Пусть первый чиж сядет на первый столб. Предположим, заняты все столбы с 1-го по 𝑘-й, где 𝑘 <= 23. Покажем, как получить ситуацию, где заняты все столбы с 1-го по (𝑘 + 1)-й. Последовательно меняя 𝑘 от 1 до 23, получим ситуацию, в которой будут заняты первые 24 столба. Пусть заняты все столбы с 1-го по 𝑘-й, пусть тогда следующий чиж садится на (𝑘 + 2)-й столб (где 𝑘 + 2 <= 25), а следующий за ним чиж садится на (𝑘 + 1)-й столб, и чиж с (𝑘 + 2)-го столба улетает. Получаем ситуацию, где заняты все столбы с 1-го по (𝑘 + 1)-й | 24 | school | 11 |
Натуральное число 𝑛 назовём интересным, если 2𝑛 является точным квадратом, а 15𝑛 — точным кубом. Найдите наименьшее интересное число. | Разложим число 𝑛 на простые множители. Чтобы число было квадратом, необходимо, чтобы в этом разложении все простые числа встречались в чётных степенях, а чтобы число было кубом, необходимо, чтобы все простые числа встречались в делящихся на 3 степенях. Посмотрим, на какую степень двойки делится 𝑛. Во-первых, эта степень нечётная, т. к 2𝑛 — точный квадрат. Во-вторых, эта степень делится на 3, т. к. 15𝑛 — точный куб. Следовательно, минимальная степень двойки — это 3. Теперь посмотрим, на какую степень тройки делится 𝑛. Во-первых, эта степень чётная, т. к. 2𝑛 — точный квадрат. Во-вторых, эта степень даёт остаток 2 при делении на 3, т.к. 15𝑛 — точный куб. Следовательно, минимальная степень тройки — это 2. Для пятёрки аналогично получаем, что её минимальная степень — это 2. Следовательно, 𝑛 делится на 2**3 * 3**2 * 5**2 = 1800, т. е. 𝑛 >= 1800. Несложно проверить, что 𝑛 = 1800 удовлетворяет всем условиям задачи. | 1800 | school | 11 |
По зову воеводы пришли 55 солдат: лучники и мечники. Все они были одеты либо в золотые, либо в чёрные доспехи. Известно, что мечники говорят правду, когда носят чёрные доспехи и обманывают, когда носят золотые доспехи, а лучники — наоборот. На вопрос «На тебе золотые доспехи?» утвердительно ответили 44 человека.
На вопрос «Ты лучник?» утвердительно ответили 33 человека. На вопрос «Сегодня понедельник?» утвердительно ответили 22 человека. Сколько пришло лучников в золотых доспехах на зов воеводы? | На первый вопрос утвердительно ответят лучники в золотых доспехах и лучники в чёрных доспехах, то есть все лучники. На второй вопрос утвердительно ответят лучники в золотых доспехах и мечники в золотых доспехах, то есть все солдаты в золотых доспехах. На третий вопрос утвердительно ответят либо мечники в золотых доспехах и лучники в чёрных доспехах (если сегодня не понедельник), либо мечники в чёрных доспехах и лучники в золотых доспехах (если сегодня понедельник). В первом случае (если не понедельник) просуммируем количество утвердительных ответов на все три вопроса. Получится удвоенное количество мечников в золотых доспехах плюс удвоенное количество лучников, т. е. чётное число, но по условию оно равно 22 + 33 + 44 = 99 и является нечётным — противоречие. Значит, на третий вопрос утвердительно ответили мечники в чёрных доспехах и лучники в золотых доспехах. Просуммируем теперь количество утвердительных ответов. Получится утроенное количество лучников в золотых доспехах плюс количество всех остальных (по одному разу). Тогда, если вычесть из данного числа общее количество солдат, получится удвоенное количество лучников в золотых доспехах, которое надо поделить пополам: (22 + 33 + 44 − 55)/2 = 22 | 22 | school | 11 |
Внутри шляпы волшебника живут 100 кроликов: белые, синие и зелёные. Известно, что если произвольным образом вытащить из шляпы 81 кролика, то среди них обязательно найдутся три разноцветных. Какое наименьшее количество кроликов нужно достать из шляпы, чтобы среди них точно было два разноцветных? | Докажем, что если произвольным образом вытащить из шляпы 61 кролика, то среди них найдутся два разноцветных. Предположим противное: пусть имется a > 61 кроликов какого-то цвета (например, белого). Пусть второй цвет по количеству кроликов — синий. Тогда в шляпе живёт хотя бы (100−a)/2 синих кроликов. А значит, общее количество белых и синих хотя бы a + (100 − a)/2 = (100 + a)/2 >= 161/2 = 80,5 . Так как кроликов целое число, белых и синих вместе хотя бы 81, что противоречит условию. Покажем, что 60 кроликов может быть недостаточно. Пусть в шляпе живёт 60 белых и по 20 синих и зеленых. Тогда может получиться, что все вытащенные кролики белые. С другой стороны, если вытащить 81 кролика, то среди них точно встретятся кролики всех трёх цветов. | 61 | school | 11 |
В трёхзначном числе первую цифру (разряд сотен) увеличили на 3, вторую — на 2, третью — на 1. В итоге число увеличилось в 4 раза. Приведите пример такого исходного числа. | Ответ может быть найден следующим способом. Пусть x — искомое число. Тогда условие задачи мгновенно приводит к уравнению x + 321 = 4x, единственным решением которого служит x = 107 | 107 | school | 11 |
Билет в кино стоил 300 рублей. Когда цену понизили, количество посетителей увеличилось на 50 процентов, а выручка кинотеатра выросла на 35 процентов. Сколько рублей составляет цена одного билета теперь? | Пусть цена нового билета составляет s рублей. Пусть изначально количество посетителей равнялось N, а после увеличения на 50% стало равняться 1,5N. Тогда по условию нынешняя выручка кинотеатра 1,5N * s на 35% больше, чем N * 300, откуда имеем 1,5Ns = 1,35 * N * 300, и s = 270. | 270 | school | 11 |
Дана арифметическая прогрессия. Сумма первых её 10 членов равна 60, а сумма первых 20 её членов равна 320. Чему может быть равен 15-й член этой прогрессии? | Пусть первый член последовательности равен a, а разность равна b. Тогда сумма первых 10 её членов равна a + (a + b) + . . . + (a + 9b) = 10a+45b. Сумма первых двадцати членов равна a+(a+b)+. . .+(a+19b) = 20a + 190b. По условию 10a + 45b = 60, 20a + 190b = 320. Решая систему, находим a = −3, b = 2. Тогда 15-й член — это a + 14b = 25. | 25 | school | 11 |
За лето однокомнатная квартира подорожала на 21%, двухкомнатная — на 11%, а суммарная стоимость квартир — на 15%. Во сколько раз однокомнатная квартира дешевле двухкомнатной? | Пусть однокомнатная квартира стоила a рублей, двухкомнатная — b рублей. Тогда из условия задачи следует, что 1,21a + 1,11b = 1,15(a + b), откуда 1,5a = b. | 1.5 | school | 11 |
В турнире по шашкам участвовали ученики 10 и 11 классов. Каждый сыграл с каждым один раз. За победу участник получал 2 очка, за ничью — 1 очко, за проигрыш — 0 очков. Одиннадцатиклассников было в 10 раз больше, чем десятиклассников, и они вместе набрали в 4,5 раза больше очков, нежели все десятиклассники. Сколько очков набрал самый успешный десятиклассник? | 1. Пусть в турнире приняло участие a десятиклассников, которые заработали b очков. Тогда играли 10a одиннадцатиклассников, которые заработали 4,5b очков. В каждой партии разыгрывают 2 очка, всего 11a игроков играют 11a(11a –1)/2 партий. Значит, из условия задачи следует соотношение 11a(11a – 1) = 5,5b, откуда b = 2a(11a – 1). 2. Заметим, что каждый участник играет 11a – 1 партий. Значит, каждый десятиклассник может набрать максимум 2(11a – 1) очков, если выиграет все игры. Так как a десятиклассников набрали 2a(11a – 1), они выиграли все свои игры. 3. Если в турнире участвовало хотя бы два десятиклассника, то в игре между собой один из них не выиграл. Это невозможно. Значит, был только один десятиклассник, т. е. a = 1. Он набрал 2(11a – 1) = 20 очков. | 20 | school | 11 |