Prueba de hipótesis para el cociente de varianzas

Suponga que se tienen dos muestras aleatorias que provienen de poblaciones normales así:

• \(n_1\) observaciones \(X_{11}, X_{12}, \ldots, X_{1,n1}\) de una población I con varianza \(\sigma^2_1\),
• \(n_2\) observaciones \(X_{21}, X_{22}, \ldots, X_{2,n2}\) de una población II con varianza \(\sigma^2_2\),
• ambas muestras son independientes entre sí.

En este problema se desea estudiar la hipótesis nula \(H_0: \sigma_1^2 / \sigma_2^2 = 1\) de igualdad de varianzas y se sospecha que el cociente de varianzas podría estar en alguna de las siguientes situaciones:

• \(H_a: \sigma_1^2 / \sigma_2^2 < 1\)
• \(H_a: \sigma_1^2 / \sigma_2^2 \neq 1\)
• \(H_a: \sigma_1^2 / \sigma_2^2 > 1\)

El estadístico para realizar la prueba es: \[ F_0=\frac{S_1^2}{S_1^2}, \] donde \(S_1^2\) y \(S_2^2\) son las varianzas de las muestras I y II respectivamente. El estadístico \(F_0\), bajo la suposición de que \(H_0\) es verdadera, tiene distribución \(f\) con \(n_1-1\) grados de libertad en el numerador y \(n_2-1\) grados de libertad en el denominador.

Si el valor calculado para el estadístico dado en la ecuación anterior se denota por \(f_0\), entonces el valor-\(P\) de la prueba se calcula de acuerdo a la hipótesis alterna \(H_a\) así:

• Si \(H_a: \sigma_1^2 / \sigma_2^2 < \sigma^2_0\) entonces valor-\(P\)=\(P(f_{n_1-1,n_2-1} < f_0)\).
• Si \(H_a: \sigma_1^2 / \sigma_2^2 \neq \sigma^2_0\), valor-\(P\)=\(2 \times \min \left\{ P(f_{n_1-1,n_2-1} < f_0), P(f_{n_1-1,n_2-1} > f_0) \right\}\).
• Si \(H_a: \sigma_1^2 / \sigma_2^2 > \sigma^2_0\) entonces valor-\(P\)=\(P(f_{n_1-1,n_2-1} > f_0)\).

En esta prueba, al no rechazar la hipótesis nula \(H_0\), se concluye que \(\sigma_1^2 / \sigma_2^2 = 1\) lo que implica en términos prácticos que \(\sigma_1^2 = \sigma_2^2\), es decir que las varianzas poblacionales se pueden considerar iguales.