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# Prueba de hip贸tesis para la diferencia de medias
Suponga que se tienen dos muestras aleatorias que provienen de poblaciones normales as铆:
- $n_1$ observaciones $X_{11}, X_{12}, \ldots, X_{1,n1}$ de una poblaci贸n I con media $\mu_1$ y varianza $\sigma^2_1$,
- $n_2$ observaciones $X_{21}, X_{22}, \ldots, X_{2,n2}$ de una poblaci贸n II con media $\mu_2$ y varianza $\sigma^2_2$,
- ambas muestras son independientes entre s铆.
En este problema se quiere estudiar la hip贸tesis nula $H_0: \mu_1 - \mu_2 = \delta_0$ y se sospecha que la diferencia de medias $\mu_1 - \mu_2$ podr铆a estar en alguna de las siguientes situaciones:
- $H_a: \mu_1 - \mu_2 < \delta_0$
- $H_a: \mu_1 - \mu_2 \neq \delta_0$
- $H_a: \mu_1 - \mu_2 > \delta_0$
El valor $\delta_0$ corresponde a la diferencia entre las medias poblacionales; cuando $\delta_0=0$, la hip贸tesis nula se convierte en $H_0: \mu_1 = \mu_2$ lo que significa que se est谩 probando igualdad de medias.
Para realizar esta prueba de hip贸tesis se deben diferenciar dos casos, uno en el que las varianzas poblacionales son iguales y otro caso en el que las varianzas poblaciones son diferentes, esto se puede chequear utilizando la prueba de comparaci贸n de varianzas. Para cada uno de los casos hay un estad铆stico de prueba, una distribuci贸n asociada y un valor-$P$, a continuaci贸n se presentan los dos casos en detalle.
## Caso 1: varianzas poblacionales iguales $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$
En este caso el estad铆stico para realizar la prueba es:
$$
T_0=\frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2 - \delta_0}{S_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}},
$$
donde $\bar{X}_1$ y $\bar{X}_2$ son las medias de las muestras I y II respectivamente; la cantidad $S_p^2$ es una varianza combinada y se calcula como:
$$S_p^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2},$$
donde $S_1^2$ y $S_2^2$ son las varianzas de las muestras I y II respectivamente. En este caso el estad铆stico $T_0$, bajo la suposici贸n de que $H_0$ es verdadera, tiene distribuci贸n $t$-student con $n_1+n_2-2$ grados de libertad \cite{Walpole12}.
Si el valor calculado para el estad铆stico dado en la ecuaci贸n \eqref{est_dif_med_var_igu} se denota por $t_0$, entonces el valor-$P$ de la prueba se calcula de acuerdo a la hip贸tesis alterna $H_a$ as铆:
- Si $H_a: \mu_1 - \mu_2 < \delta_0$ entonces valor-$P$=$P(t_{n_1+n_2-2} < t_0)$.
- Si $H_a: \mu_1 - \mu_2 \neq \delta_0$ entonces valor-$P$=$2 \times P(t_{n_1+n_2-2} > \lvert t_0 \rvert)$.
- Si $H_a: \mu_1 - \mu_2 > \delta_0$ entonces valor-$P$=$P(t_{n_1+n_2-2} > t_0)$.
## Caso 2: varianzas poblacionales diferentes $\sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$
En este caso el estad铆stico para realizar la prueba es:
$$
T_0=\frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2 - \delta_0}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}}.
$$
Bajo la suposici贸n de que $H_0$ es verdadera, $T_0$ tiene distribuci贸n $t$-student con $v$ grados de libertad \cite{Walpole12}, en donde $v$ se calcula como:
$$v=\frac{ \left( \frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2} \right)^2 }{ \frac{(S_1^2/n_1)^2}{n_1-1} + \frac{(S_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}$$
Si el valor calculado para el estad铆stico dado en la ecuaci贸n \eqref{est_dif_med_var_dif} se denota por $t_0$, entonces el valor-$P$ de la prueba se calcula de acuerdo a la hip贸tesis alterna $H_a$ as铆:
- Si $H_a: \mu_1 - \mu_2 < \delta_0$ entonces valor-$P$=$P(t_{v} < t_0)$.
- Si $H_a: \mu_1 - \mu_2 \neq \delta_0$ entonces valor-$P$=$2 \times P(t_{v} > \lvert t_0 \rvert)$.
- Si $H_a: \mu_1 - \mu_2 > \delta_0$ entonces valor-$P$=$P(t_{v} > t_0)$.
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