Prueba de hipótesis para la proporción

Suponga que se tiene el número de éxitos \(X\) en una muestra de tamaño \(n\). Se quiere estudiar la hipótesis nula \(H_0: p = p_0\) y se sospecha que la proporción \(p\) podría estar en alguna de las siguientes situaciones:

• \(H_1: p < p_0\)
• \(H_1: p \neq p_0\)
• \(H_1: p > p_0\)

El estadístico para realizar la prueba es:

\[ Z_0=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\frac{p_{0}(1-p_{0})}{n}}}, \]

donde \(\hat{p}=X/n\) corresponde a la proporción de éxitos en una muestra de tamaño \(n\). Siempre que \(np\) y \(n(1-p)\) sean ambos mayores o iguales a 10, y bajo la suposición de que \(H_0\) es verdadera, el estadístico \(Z_0\) tiene una distribución aproximadamente normal estándar.

Si el valor calculado para el estadístico dado en la ecuación se denota por \(z_0\), entonces el valor-\(P\) de la prueba se calcula de acuerdo a la hipótesis alterna como:

• Si \(H_a: p < p_0\), entonces valor-\(P\)=\(P(z < z_0)\).
• Si \(H_a: p \neq p_0\), entonces valor-\(P\)=\(2 \times P(z > \lvert z_0 \rvert)\).
• Si \(H_a: p > p_0\), entonces valor-\(P\)=\(P(z > z_0)\).

La hipótesis nula \(H_0\) se rechaza si el valor-\(P\) es menor que el nivel de significancia (\(\alpha\)).

Cuando \(\left|\hat{p}-p_{0}\right|>\frac{1}{2n}\) se usa corrección por continuidad en el estadístico de prueba. Así, dependiendo de la relación entre \(\hat{p}\) y \(p_0\) el estadístico tendrá una expresión diferente:

• Si \(\hat{p} - p_0 > 0\), entonces \[ Z_0=\frac{\hat{p}-p_0 - \frac{1}{2n}}{\sqrt{\frac{p_{0}(1-p_{0})}{n}}}. \]
• Si \(\hat{p} - p_0 < 0\), entonces \[ Z_0=\frac{\hat{p}-p_0 + \frac{1}{2n}}{\sqrt{\frac{p_{0}(1-p_{0})}{n}}}. \]

El criterio del valor-\(P\) será el mismo utilizado cuando no se usa corrección por continuidad.